Esercizio Sottospazi

[Miller_96]

Salve, avrei bisogno perfavore una mano con questo esercizio banale che però non ho capito a fondo: \( \displaystyle \Re^{3} \) Dire per quali valori di \( \displaystyle k \in \Re \) i seguenti insiemi sono sottospazio:
\( \displaystyle W={L(1,1,k),(1,1,1)} \) \( \displaystyle W={(0,k,1),(0,1,2)} \) \( \displaystyle W={(x,y,z)\in \Re | 3x=y=k)} \)

Non ho la soluzione ma penso che il primo, per qualunque k dato che l'insieme di due vettori formano un sottospazio che poi può essere completato a base con la base canonica il secondo : 2 soli vettori non possono formare un sottospazio e il terzo se e solo se k = 0 in questo caso per il teorema delle soluzioni di un sistema omogeneo sono sempre sotto spazioperchè comprendono almeno la soluzione banale. è corretto? Grazie mille

[LoreT314]

Si, nel primo caso hai uno span, e uno span è sempre un sottospazio vettoriale. Poi se $k=1$ il tuo sottospazio avrà dimensione $1$, altrimenti avrà dimensione $2$, ma è irrilevante ai fini dell'esercizio.
Nel secondo chiaramente due soli vettori non nulli non sono un sottospazio, non contiene lo zero ad esempio.
Il terzo è corretto, se $k !=0$ il tuo insieme non conterrebbe lo zero, quindi non sarebbe un sottospazio. Se $k=0$ ottieni un sottospazio di dimensione $0$

[Miller_96]

Grazie mille!