Radici di un' equazione di quarto grado. [Risolto]

[crisixk]

Ciao

Sono in difficoltà con questa equazione:

\(\displaystyle x^4 -x^3 +1 = 0 \)

Sono in grado di risolvere le biquadratiche e le bicubiche ma in questo caso quell'x alla terza non so come gestirla.
Ho provato a trovare una radice razionale \(\displaystyle \frac{m}{n} \) (dove m divide il termine noto ed n divide il coeff. della x alla quarta), cioè 1, e poi ho diviso il polinomio per \(\displaystyle (x -1) \), ottenendo:

\(\displaystyle x^4 -x^3 +1 = x^3 (x -1) +1 \)

ma sono bloccato lì (anche per via del resto della divisione)!

Con Geogebra ho visto l'assenza di radici (o almeno di radici reali), ma non capisco come poter dimostrare la loro assenza.

Potete darmi qualche dritta su cosa provare o su cosa studiare per gestire una equazione del genere?

Grazie

Ps è il mio primo post, spero di aver azzeccato la sezione

[Zero87]

Con Geogebra ho visto l'assenza di radici (o almeno di radici reali), ma non capisco come poter dimostrare la loro assenza.
Potete darmi qualche dritta su cosa provare o su cosa studiare per gestire una equazione del genere?

Ciao crisixk e benvenuto al forum.
La dritta "classica" - e non lo dico perché non mi viene in mente altro, ma perché allo scientifico facevo così - era quella di calcolare la derivata e poi affidarsi al destino. In altre parole fai un "mini" studio di funzione considerando $f(x)=x^4-x^3+1$ e vedi se tale funzione interseca l'asse $x$ passando attraverso le derivate.

Mi spiego meglio:
$f'(x)=4x^3-3x^2=x^2(4x-3)$
Senza fare uno studio del segno particolare, si può vedere che la derivata è positiva per $x>3/4$, quindi la funzione decresce fino al punto di ascissa $x=3/4$ e poi cresce. Per $f(x)$, dunque, si deduce che $x=3/4$ è un punto di minimo globale.
[Nota per completezza. Il punto $x=0$ che annulla comunque la derivata, è un flesso a tangente orizzontale visto che la derivata prima e dopo ha lo stesso segno.]
A questo punto, vedi il valore di $f(x)$ nel punto di minimo globale.
$f(3/4)=81/256-27/64+1=(81-108+256)/256=...$ comunque maggiore di zero.
Quindi se, nel punto di minimo assoluto, $f(x)>0$ allora $f(x)$ non intersecherà mai l'asse $x$ e, quindi, l'equazione associata non avrà radici reali.

[totissimus]

Sia $\alpha$ è una eventuale radice reale dell'equazione $x^{4}-x^{3}+1=0$

$\alpha^{4}-\alpha^{3}+1=0$

$\alpha^{3}=\alpha^{4}+1>1$

Quindi $\alpha>1$

$\alpha^{4}-\alpha^{3}+1=\alpha^{3}(\alpha-1)+1>0$

Assurdo, quindi non possono esserci radici reali

[crisixk]

Grazie Zero87!

più o meno ho capito il senso di quello che dici

mi sto preparando con un precorso prima di iniziare il primo anno a Informatica, dove avrò un esamino di ingresso. Le derivate non dovrebbero essere contemplate (credo) quindi immagino che l'eq. dell'esercizio per quanto riguarda me debba rimanere insoluta.

Risposta davvero chiara ed esauriente <3

[qualcuno]

La soluzione di totissimus mi sembra più interessante.

[totissimus]

Un altro modo immediato per capire che l'equazione non ammette soluzioni
reali:

$x^{4}-x^{3}+1=\left(\frac{1}{2}x^{2}-x\right)^{2}+\frac{3}{4}x^{4}-x^{2}+1>0$

in quanto il trinomio$\frac{3}{4}x^{4}-x^{2}+1$ di secondo grado
in $x^{2}$ ha discriminante negativo.

[axpgn]

In maniera più "semplicistica" (non più semplice )

Per $x>1$ abbiamo che $x^4-x^3>0$ quindi non ci sono soluzioni.

Per $x=1$ abbiamo che l'equazione diventa $1=0$ quindi nessuna soluzione

Per $0<x<1$ abbiamo che $x^4-x^3$ è negativa ma minore di $1$ in valore assoluto quindi nessuna soluzione.

Per $x=0$ abbiamo che l'equazione diventa $1=0$ quindi nessuna soluzione

Per $x<0$ abbiamo che $x^4-x^3>0$ quindi nessuna soluzione.

Cordialmente, Alex

[crisixk]

Grazie totissimus

Purtroppo non riesco a comprendere la tua soluzione; nello specifico non capisco da dove venga fuori 1 a destra del simbolo maggiore qui:

$\alpha^{3}=\alpha^{4}+1>1$

e il perché debba essere assurdo questo:

$\alpha^{4}-\alpha^{3}+1=\alpha^{3}(\alpha-1)+1>0$

ad intuito non ci arrivo, te magari lo sai, perché hai maggiori conoscenze matematiche o semplicemente perché lo hai scritto te

Se tu mi dessi queste delucidazioni te ne sarei ulteriormente grato!

PS la mia matematica è quella di un Geometra diplomato

[crisixk]

Grazie Alex (axpgn) per la "maniera semplicistica"

però ad ogni tua riga mi ci vorrebbe un perché

cioè, se x maggiore di 1 abbiamo questo... perché? Se x uguale ad 1 abbiamo quest'altro... si ma perché??

Te magari lo dai per scontato, ma io non ho idea del perché si abbia questo o quello in base a certi valori della x.

Se potresti darmi le motivazioni di quei passaggi te ne sarei ulteriormente grato (considera che ho un diploma da Geometra e stop)

[totissimus]

@crisixk
$$\alpha^{4}\geq0\Longrightarrow\alpha^{4}+1\geq1$$