Funzione differenziabile

[AndretopC0707]

Se una funzione è differenziabile in un certo punto allora le derivate parziali prime sono continue in quel punto?
La risposta a cui io ho pensato è no: se le derivate prime sono continue in un punto, allora la funzione è differenziabile con continuità in quel punto, non necessariamente differenziabile. La differenziabilità implica solo l’esistenza delle derivate parziali.
È corretto il ragionamento?
Grazie in anticipo

[Leonardo97]

Si hai ragione, certo, la risposta è no.

Si ha la seguente catena di implicazioni, nessuna delle quali è in generale invertibile:

esistenza di tutte le derivate parziali continue in $x_0 \to$ differenziabilità in $x_0 \to$ esistenza di tutte le derivate parziali in $x_0$.

Inoltre chiaramente la differenziabilità in $x_0$ implica la continuità in $x_0$.

[Leonardo97]

Pensa ad esempio alla funzione $f$ tale che $f(x)=x^2\sin(\frac{1}{x})$ se $x \ne 0$ e $f(0)=0$.

Chiaramente la funzione è differenziabile in $0$, con $f'(0)=0$, ma la sua derivata prima è $f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$ per ogni $x \ne 0$.

Si vede facilmente che $\lim_{x \to 0} f'(x)$ non esiste, e dunque la $f'$ non è continua in $0$.

[AndretopC0707]

Grazie mille

[AndretopC0707]

Un’altra cosa, dire che una funzione $f$ è di classe $C^1$ su un aperto A equivale a dire che le derivate parziali prime di $f$ esistono continue in A, giusto?
Quindi se $f$ è di classe $C^1$ su A allora è differenziabile con continuità, non solo differenziabile, in A, corretto?

[Leonardo97]

Per definizione una funzione $f$ è di classe $C^1$ su un aperto $A$ se le derivate parziali prime di $f$ esistono continue in $A$.

Vale che: $f \in C^1(A) \quad \Rightarrow \quad f$ differenziabile in $A \quad \Rightarrow \quad f$ continua in $A$.

Non capisco cosa tu intenda con differenziabile con continuità in $A$.

Per definizione $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ è differenziabile in $x_0 \in A$ se $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-\nabla f(x_0)(x-x_0)}{||x-x_0||}=0$.

[AndretopC0707]

Grazie mille

[AndretopC0707]

Mi è stato detto che, considerando il teorema sulla condizione sufficiente per la differenziabilità, ovvero funzione differenziabile se esistono le derivate in un intorno del punto e sono continue in tale punto allora la funzione è differenziabile con continuità (una sorta di caso particolare di differenziabilità).

[gugo82]

Non capisco cosa tu intenda con differenziabile con continuità in $A$.

Intende che le derivate prime sono continue in $A$, con una terminologia d'antan.

[AndretopC0707]

Sì, esatto