Salve, sto ragionando sulla definizione di Cox-De Boor per basi spline e su una loro implementazione in matlab ma ho un problema nel caso di nodi con molteplicità 1. La definizione delle basi spline avviene per ricorsione e si ha:
$B_(i,p)(x)=(x-\xi_(i))/(\xi_(i+p)-\xi_(i))*B_(i,p-1)(x)+(\xi_(i+p+1)-x)/(\xi_(i+p+1)-\xi_(i+1))*B_(i+1,p-1)(x)$
e passo base
$B_(i,0)=\chi([\xi_(i),\xi_(i+1))$ (funzione caratteristica)
Ora, il problema avviene se ho un vettore di nodi di questo tipo: $Knots=[0 0.25 0.5 0.75 1]$ ossia uniforme e senza nodi multipli. In questo caso, provo a valutare la base per $p>0$ e $x=0$. Supponiamo $p=1$. Per le proprietà sul dominio di queste funzioni, dovrebbe sopravvivere non nulla solo la prima, per $i=0$.
$B(0,1)(0)=(0-0)/(0.25-0)*B_(0,0)(0)$
A questo punto $B_(0,0)(0)=1$ ma il coefficiente che la moltiplica è nullo. Perciò anche $B_(0,1)(0)=0$ cosa impossibile perchè deve sempre valere la regola di partizione dell'unità e quindi dovrei avere che
$\sum_(i=0)^n B_(i,1)(0)=1$