francicko ha scritto:Comunque ho mostrato così che $sigma (a+balpha)=a+b beta$ è un omomorfismo?
L'idea è quella che hai scritto, ma in matematica quando si dice dimostrazione si intende un testo con un inizio, una fine e una sua logica interna.
Ti faccio vedere come funziona una dimostrazione in matematica. In pratica sto mettendo tutte le cose giuste che hai scritto in un testo organico e gli sto dando una logica.
Teorema. Dato un polinomio $P(X) in QQ[X]$ monico e irriducibile di grado $2$ e dette $alpha,beta in CC$ le sue due radici complesse e $E=QQ(alpha)=QQ(beta)$, la funzione
$sigma:E to E$,
$sigma(a+b alpha) = a+b beta$
è un omomorfismo di anelli.
Dimostrazione. La funzione $sigma$ è ben definita perché, siccome il polinomio minimo di $alpha$ su $QQ$ ha grado $2$, ogni elemento di $E$ si scrive in modo unico come $a+b alpha$ con $a,b in QQ$. E' chiaro che $sigma(0)=0$ e $sigma(1)=1$. Ci resta da mostrare che $sigma$ rispetta la somma e il prodotto di elementi.
Per la somma,
$sigma((a+b alpha)+(c+d alpha)) =$
$= sigma(a+c+(b+d)alpha)$
$= a+c+(b+d)beta$
$= a+b beta + c+d beta$
$= sigma(a+b alpha) + sigma(c+d beta)$.
Per il prodotto, osserviamo che $alpha$ e $beta$ sono radici di $P(X)=X^2+rX+s$ (dove $r,s in QQ$) e quindi $alpha^2 = -r alpha -s$ e $beta^2 = -r beta -s$. Abbiamo quindi
$sigma((a+b alpha) * (c+d alpha))$
$= sigma(ac+(ad+bc) alpha+bd alpha^2)$
$= sigma(ac + (ad+bc) alpha + bd(-r alpha-s))$
$= sigma(ac-sbd+(ad+bc-rbd) alpha)$
$= ac-sbd+(ad+bc-rbd)beta$
$= ac+(ad+bc) beta+bd(-r beta-s)$
$= ac+(ad+bc) beta +bd beta^2$
$= (a+b beta)(c+d beta)$
$= sigma(a+b alpha) * sigma(c+d alpha)$.
Fine della dimostrazione. \( \displaystyle \square \)
Per chiarezza, osservo che è essenziale che $alpha$ e $beta$ siano radici dello stesso polinomio irriducibile. Per esempio considera la funzione
$sigma:QQ(sqrt(2)) to QQ(i)$
$sigma(a+b sqrt(2)) = a+bi$
E' una funzione ben definita ma
non è omomorfismo di anelli. Infatti
$sigma(sqrt(2) * sqrt(2)) = sigma(2) = 2$
$sigma(sqrt(2)) * sigma(sqrt(2)) = i*i = -1$
sono diversi.
Detto questo, ora bisogna mostrare che la $sigma$ che stai considerando è iniettiva e suriettiva.
Fatto questo, il grado $2$ è risolto e ti resta da fare il caso in cui $P(X)$ ha grado $n$ qualsiasi. Ma ovviamente lo devi fare in modo logico e organico come ho scritto qui sopra, non "a singhiozzo" (cioè NON scrivendo pezzi di dimostrazione fuori contesto, uno qui e uno lì, sperando che qualcuno metta insieme i pezzi). Cioè devi scrivere un testo che enunci precisamente cosa stai dicendo e una dimostrazione che abbia un inizio, una fine e una sua logica interna.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.