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No! Non intendevo quello, ad esempio \( g_1(n) = F_{n+1} \) dove \(F_{n} \) è l'\(n\)-esimo numero di fibonacci.
Infatti \(g_1(n) = g_1(n-1) + g_1(n-2) \), infatti i modi di scrivere \( n \) usando soltanto degli \(1\) e dei \(2\) si può ottenere solo se si può scrivere \(n-1\) usando soltanto degli \(1\) e dei \(2\) oppure \(n-2\) usando soltanto degli \(1\) e dei \(2\) e poi sommi \(1\) e \(2\) rispettivamente.
Ad esempio \( g_1(4)= 5 \), perché \( 4 = 1+1+1+1 \), che corrisponde alla soluzione \( (4,0)\) all'equazione \(x+2y=4 \). Le tre soluzioni (distinte), \( 2+1+1=1+2+1= 1+1+2\) corrispondono alla soluzione unica \((2,1) \) e la soluzione \( 2+2 \) corrisponde alla soluzione \( (0,2)\). Il problema è che \(g_k(n) \) considera distinte soluzioni che sono la medesima per l'equazione.
Fondamentalmente per \( g_k(n) \) l'ordine conta, per \(a_k\) l'ordine non conta! Per ordine intendo che le soluzioni negli interi non negativi di \( k x + (k+1) y = n \) rappresentano sommare \(x \)-volte \(k \) e poi sommare \(y\)-volte \(k+1\) per ottenere \(n\). Il problema è che \(a_k\) non conta tutte le permutazioni di in quale ordine sommo le \(x\)-volte \(k\) e le \(y\)-volte \(k+1\) mentre \(g_k(n)\) invece sì.
Edit:
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Inoltre scrivo \(g_k(n) \) perché in realtà gli \(a_j \) dipendono da \(n\) e sarebbe più corretto scrivere \( a_j(n)\) per ogni \( 1 \leq j \leq n \).