Chi è più grande?

[dan95]

Senza usare la calcolatrice determinare chi è più grande tra

$\sqrt{2-\sqrt{2}}$ e $\pi/4$

[otta96]

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$\pi/4$?

[dan95]

Perché?

[otta96]

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Quando ho risposto ho fatto questo ragionamento a spanne.
$sqrt(2-sqrt2)≈sqrt(3/5)≈3/4<\pi/4$.
Però ora provando a formalizzare un po' mi sono accorto che $sqrt(2-sqrt2)>3/4$, contrariamente a quanto pensavo, però ho visto che $sqrt(2-sqrt2)<31/40$, volendo si può formalizzare ma lo farei solo perchè l'ho visto quindi sarebbe come barare

[dan95]

@otta96

Allora ti do un hint

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Pensa alla funzione $\sin(x)$...

[axpgn]

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Contate i quadratini ...

Cordialmente, Alex

[dan95]

@alex

Dimostrazioni fai da te parte 1

[axpgn]

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$OP=1$

$A\hatOP=pi/4$

Quindi l'arco $AP=pi/4$

$OP^2=OH^2+PH^2=2OH^2\ ->\ OH=PH=sqrt(2)/2$

$AH=1-sqrt(2)/2=(2-sqrt(2))/2$

$AP^2=PH^2+AH^2=(sqrt(2)/2)^2+((2-sqrt(2))/2)^2=1/2+(4+2-4sqrt(2))/4=(8-4sqrt(2))/4$

$AP^2=(2-sqrt(2))\ -> \ AP=sqrt(2-sqrt(2))$

Cordialmente, Alex

[dan95]

@axpgn

Yess