Consideriamo \( [0,n] \cap \mathbb{N} \) con \(n \in \mathbb{N} \). Supponiamo che vi sia un grillo che saltella allegramente lungo gli interi di questo segmento.
Quando il grillo è posizionato sul numero \(k\), con \( 0 < k < n \), egli ad ogni step salta a destra oppure a sinistra di un numero con probabilità \(1/2\) indipendentemente dal passato, i.e. con probabilità \( 1/2 \) salta sul numero \(k+1\) e con probabilità \(1/2\) sul numero \(k-1\). Quando il grillo raggiunge lo \(0\) oppure il numero \(n\) si ferma. Sia \(H(k)\) la probabilità che il grillo raggiunge \(n\) prima di raggiungere lo \(0\) partendo da \(k\). Chiaramente \(H(0)=0\) e \(H(n)=1\).
Quanto vale \(H(k)\) ?