Propongo una soluzione per il primo quesito.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Sia $N={1,2,...,9} $ l'insieme delle cifre da 1 a 9. Possiamo interpretare un intero positivo di $1\le k\le 9$ cifre distinte come un sottoinsieme di cardinalità $k$ di $N$, composto da $k$ elementi distinti. Per esempio al numero 123 associamo l'insieme ${1,2,3}$ e viceversa.
Il numero di sottoinsieme di $N$ di ordine $k$ è dato da $9Ck$: ciò vuol dire che $9Ck$ è il numero di interi positivi con $k$ cifre distinte e strettamente crescenti.
Questa cosa andrebbe dimostrata: l'idea è che, dato un insieme di elementi distinti, è sempre possibile riscriverlo ordinando i suoi elementi dal più piccolo al più grande.
Si può dimostrare che la mappa che associa a un sottoinsieme di elementi distinti e ordinati di N il numero intero di k cifre strettamente crescenti è una biezione, garantendo l'uguaglianza tra il numero di sottoinsiemi di cardinalità k e il numero di interi positivi di k cifre strettamente crescenti.
Riassumendo: il numero di interi positivi a k cifre strettamente crescenti è $9Ck$ con $k\in N$. Sommando $9Ck$ per k da 1 a 9, otteniamo il numero richiesto:
$\sum_{k=1}^{9}9Ck=2^9-1=511$
Per il secondo non ho ancora trovato una formalizzazione tale da risolverlo. :/