Aspettate, non voglio fare casino, però sono da smart e mi viene difficile essere dettagliato. Io sono partito dall'idea che un autovalore $\lambda$ debba soddisfare $Tx=\lambda x$. Riscrivendo l'equazione per componenti diventa $(Tx)_k=\lambda x_k. $
La tentazione di dedurre $\lambda=1/(k^4+1)$ è molta, però lambda non può dipendere da $k$ (sempre per come interpreto io la traccia.)