francicko ha scritto:se le contenesse sarebbe vero, il numero degli automorfismi sarebbe $n=3$ giusto?
Ma dire questo è un po' come dire che se $1$ fosse $2$ allora $2$ sarebbe $3$ (che è vero, tra l'altro, perché se $1=2$ allora $2=1+1=2+1=3$).
Ci sono molte inesattezze in quello che dici. Primo, nel caso non separabile succedono cose strane, quindi è ragionevole che tu debba supporre almeno che l'estensione sia separabile. Secondo, tu dici "se le contenesse sarebbe vero", quello che vuoi dire è che se un'estensione contiene tutte le radici di $X^3-2$ allora succede quello che hai detto, ma questo è falso, primo perché non basta che le contenga, deve (per esempio) essere generato da esse, o comunque dev'essere generato dalle radici di un dato polinomio (che potrebbe anche essere, che so, $(X^3-2)(X^2+1)$); secondo, se prendi il campo generato dalle radici di $X^3-2$ allora il suo grado sul campo base non è uguale a $3$, dipende dal campo base. Se il campo base è $QQ$ allora il grado è $6$ (non $3$).
Poi c'è sempre la solita questione: abbiamo già parlato di queste cose innumerevoli volte, non capisco perché ogni tanto fai un reset e dimentichi tutto. Vedi
qui per esempio.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.