Calcolare $I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ax}}{(1+e^x)cosh(x)}dx, a \in )0,1( $
Allora, senza dilungarmi troppo in spiegazioni teoriche, io ho preso quella che il prof ha definito senza alcuna spiegazione di cosa significhi
', ovvero :continuazione analitica banale della funzione in $\CC$
$f(z) = \frac{e^(az)}{(1+e^z)coshz}$
Questa funzione ha dei poli singoli in $z = i\pi +2ik\pi, z = i\pi/2 + ik\pi $
Per integrare ho scelto, come già visto a lezione, un percorso che ho postato nell'immagine allegata, e ho usato il teorema dei residui per calcolare l'integrale cercato.
Ho provato a calcolare l'integrale della mia funzione sul cammino $\gamma_2$ . Sono arrivato a questo e poi mi sono bloccato:
Parametrizzo il segmento come $\gamma_2: b+iy, y \in [0,2pi]$
$ lim_{b->\infty} \int_{0}^{2pi} \frac{2e^{(a+1)(b+iy)}}{e^{3(b+iy)}+e^{2(b+iy)}+e^{b+iy}+1} i dy $
Non so bene come risolverlo (dovrebbe fare zero secondo la soluzione dell'esercizio, tuttavia non lo svolge dice solamente che gli integrali su $\gamma_{2,4}$ si annullano per $b -> \infty$)
Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolverlo? Mi farebbe piacere se nelle vostre risposte non lasciaste nulla di ciò che fate per scontato, ovvero vorrei capire i ragionamenti passo passo siccome devo ancora prendere la mano con questo tipo di integrali.
Ringrazio in anticipo chi vorrà darmi un aiuto