Un'ultima domanda sulle dimostrazioni

[serafinon]

Ciao,

siccome ieri ho avuto modo di capire un po' di cosette grazie a un utente riguardo le definizioni mi piacerebbe sulla falsa riga di quanto visto vedere se ragionare come segue potrebbe essere corretto.

Sappiamo che per definizione di forma bilineare non degenere:
$phi$ forma bilineare è non degenere se $AA x, (x in V and (f(x,y)=0, AAy in V))=> x=0$.

vorrei dimostrare questo (che mi sembra vero):
Sia $phi$ una forma bilineare simmetrica, se $phi(x,y)=0 <=> x=0 or y=0$ allora $phi$ è non degenere.

Mettendolo in formule avrei che devo dimostrare:

$(AA x AA y, phi(x,y)=0 => x=0 or y=0) => [AAx, (AA y in V,phi(x,y)=0) => x=0]$

questo è logicamente equivalente a dire:

$[(AA x AA y, phi(x,y)=0 => x=0 or y=0) and (AAx, (AA y in V,phi(x,y)=0))] => x=0$

A questo punto l'asserto mi sembra vero poiché per ipotesi ho:

HP1) Per ogni x,y, $phi(x,y)=0 => x=0 or y=0$ MA assieme deve valere che HP2) $AAx, (AA y in V,phi(x,y)=0)$, quindi sto dicendo che per ogni x e y su cui agendo la mia forma bilineare e dia risultato nullo, allora avrò che x è nullo oppure y e nullo, ma per ipotesi HP2 y varia su qualunque valore in V, quindi non sarà nullo, rimarrà quindi nullo solo x (dell' x or y), cvd.
Di quest'ultima parte però non sono molto certo del ragionamento, qualcuno saprebbe aggiustarla un po' o dirmi e completamente sbagliato?

Vi ringrazio.

[Cannelloni]

Dunque, la dimostrazione è sicuramente vera, il vero problema è che non si può verificare la situazione che dici tu. Non esistono forme bilineari (simmetriche o no) tali che $\phi(x,y)=0 \iff x=0 \or y=0$. Per esser precisi esistono tali forme ma solo nel caso in cui $\dim V=1$ e quindi parliamo di campo, prima che di spazio vettoriale. Una forma bilineare non degenere è una mappa $\phi: V\times V\rightarrow \mathbb{K}$ tale che NESSUNA delle $\phi_x(\cdot):V\rightarrow\mathbb{K}$ sia la mappa nulla; definendo, naturalmente, $\phi_x(y):=\phi(x,y)$, ma in generale ricorda che $\dim\text{ker}(\phi_x(\cdot))\ge \dim V-1$, quindi, dicendolo male, una forma bilineare, per ogni $x$ ha la maggior parte degli $y$ tali che $\phi(x,y)=0$

[serafinon]

Ciao, grazie per la risposta.

Ma, siccome a me piace capire dove sbaglio per non ripeterlo in futuro, perché solo così sento di aver davvero compreso qualcosa. Potrei gentilmente chiederti di dirmi dove sbaglio nella mia dimostrazione. Perché non riesco a capire dove faccio il passo falso. Sempre se hai tempo e voglia di darci una occhiata.

Ti ringrazio moltissimo, perché sembrandomi vera, non capisco perché sia qundi falso.

Ti auguro buona giornata!

[megas_archon]

La dimostrazione non è sbagliata, è solo che le sue ipotesi non si verificano quasi mai.

[Cannelloni]

Per fare un paragone (un po' estremo) è come riuscire a dimostrare che
se un numero è sia pari che dispari allora è un numero primo, magari la dimostrazione che fai è pure giusta, ma le ipotesi in partenza non si verificano mai (anche se nel tuo caso abbiamo detto che si possono verificare, solo che i casi in cui si verificano sono molto estremi, cioè il tuo spazio vettoriale ha dimensione 1 e quindi è isomorfo al campo su cui lavori)

[megas_archon]

Se p è un primo pari, in ogni spazio vettoriale su F_p, v+v=0.

Questo fatto è tanto vero, quanto un modo verboso di affermare qualcosa di ovvio

[serafinon]

Dovete davvero scusarmi per la stupidità, ma non sono per nulla sicuro di aver afferrato il perché.

Come dicevo io ho questo:
$[(AA x AA y, phi(x,y)=0 => x=0 or y=0) and (AAx, (AA y in V,phi(x,y)=0))] => x=0$

Soffermiamoci sulle due HP espresse in $[(AA x AA y, phi(x,y)=0 => x=0 or y=0) and (AAx, (AA y in V,phi(x,y)=0))] $

HP1) Per ogni x,y, $phi(x,y)=0 => x=0 or y=0$ MA assieme deve valere che
HP2) $AAx, (AA y in V,phi(x,y)=0)$

Da una parte dico che per ogni x e y su cui agisce la mia forma bilineare tale che dia risultato nullo => avrò che x è nullo oppure y e nullo.
Ma ora interviene l'ipotesi HP2 y varia su qualunque valore in V, quindi non sarà (solo) nullo.

A questo punto di x o y nulli, escludendo y nullo mi rimane il solo caso x nullo, e non sarebbe la tesi cercata?

[megas_archon]

Il problema è che tu sei convinto di aver fatto un errore; la dimostrazione è giusta, ma la sua ipotesi è troppo raramente vera per essere interessante. In altre parole,

Potrei gentilmente chiederti di dirmi dove sbaglio nella mia dimostrazione.

la risposta è: "in nessun posto". Hai solo dimostrato una implicazione della forma \(P\Rightarrow Q\) dove $P$ è una precondizione che non è quasi mai vera (se è vera, il dominio della tua applicazione bilineare ha dimensione 1).

[serafinon]

Ah ok ho capito il problema risiede in $(∀x∀y,ϕ(x,y)=0⇒x=0ory=0$ che vale solo per forme con dimV=1, e non ci avevo pensato.

Vorrei però formulare un dubbio che ora mi attanaglia comunque quella correttezza (riformulo un attimo...)

[serafinon]

Spostiamoci dal contesto forme, così da non avere il prblema detto sopra e consideriamo $phi(x,t):=x*y$ e i numeri reali.

Riprendendo la mia ipotesi, $(∀x∀y,x*y=0⇒x=0ory=0)and(∀x,(∀y∈V,x*y=0))]$ non sono tanto convinto che la dimostrazione riportata

Soffermiamoci sulle due HP espresse in $[(AA x AA y, phi(x,y)=0 => x=0 or y=0) and (AAx, (AA y in V,phi(x,y)=0))] $

HP1) Per ogni x,y, $x*y=0 => x=0 or y=0$ MA assieme deve valere che
HP2) $AAx, (AA y in V,x*y=0)$

Da una parte dico che per ogni x e y per cui quando moltiplicati ho risultato nullo => avrò che x è nullo oppure y e nullo.
Ma ora interviene l'ipotesi HP2 y varia su qualunque valore in V, quindi non sarà (solo) nullo.

A questo punto di x o y nulli, escludendo y nullo mi rimane il solo caso x nullo

funzioni per i seguenti motivi: non sto barando dicendo che "y varia su qualunque valore in V, quindi non sarà (solo) nullo".

Infatti l'ipotesi $[(AA x AA y, phi(x,y)=0 => x=0 or y=0) and (AAx, (AA y in V,phi(x,y)=0))] $ dice solo:
1) per ogni x,y ho x*y=0 allora ho che x=0 o y=0 (inoltre vale che -and-) 2) per ogni x e y ho x*y=0.
Ma non ho nessuna delle due ipotesi pone vincoli su y di non essere lo zero (l'ipotesi 2) ripete solo che x*y=0 per ogni x,y molto poco utile come ipotesi ai fini pratici). Insomma, dalle ipotesi concludo forse solo che: se x*y=0 ho che x=0 e y=0 di nuovo e mi verrebbe da dire... "beh grazie al cax! bella cosa che hai trovato ma non mostri che x=0." Sbaglio? A me sembra più corretto ora, vedendola così.

Forse è in questo punto che vedevo l'errore e vorrei capire meglio la questione.