Ci provo, almeno.
Nella mia testa è: esiste un t di T tale che non esiste u di E per cui t=x0+u
Riprendendo il teorema come enunciato dal libro:Una generica soluzione (t) di un sistema lineare compatibile si ottiene aggiungendo una (qualsiasi) soluzione particolare (x0) del sistema lineare compatibile ad una generica soluzione (u) del sistema lineare omogeneo associato.
La dimostrazione che mi hai insegnato tu dice che:
Per un fissato $(x_0,y_0)=(0,1)$ posso trovare tutti gli elementi di $T$ assumendo distinti elementi di $E$, e in particolare anche selezionando ogni elemento di $E$ sommando $(0,1)$ trovo uno alla volta tutti gli elementi di T.
Variando $(x_0,y_0)$ di ripete un discorso analogo. Questo è quanto dimostrato e mi sembra chiaro.
Però questo non mi sembra essere quanto afferma il testo (quindi se vogliamo il mio problema è comprendere il testo alla luce di quanto dimostrato). Infatti io lo interpreto così quanto nel quote: [intendendo generica come qualunque/ogni] Ogni elemento di T (cioè t nel testo) si ottiene aggiungendo a una soluzione particolare qualsiasi (x0,y0) (cioè x0), una generica E.
Riassumendo: ogni elemento di T è raggiunto da ogni elemento di E tramite un qualche $(x_0,y_0)$ che posso far variare (e viceversa ogni elemento di E è raggiunto da un T tramite $(x_0,y_0)$). Quindi quanto dimostrato l'ho ormai ben saldo secondo me, ma non lo riesco legare a questo testo che mi sembra dire quanto ho scritto ora.
Martino ha scritto:Dato il sistema $Ax=b$, scegliamo una soluzione particolare qualsiasi $x_0$, cosicché $Ax_0=b$. Questa $x_0$ è fissata e non varia, è proprio inchiodata (scelta dall'inizio e basta).
Ora chiamiamo $S$ l'insieme delle soluzioni dell'omogenea, cioè $S$ è l'insieme dei vettori $u$ tali che $Au=0$.
Chiamiamo inoltre $T$ l'insieme delle soluzioni di $Ax=b$.
Quello che devi dimostrare è che $T$ è uguale a $E = {x_0+u\ :\ u in S}$.
Prima inclusione: $T subseteq E$. Prendiamo $t in T$, cioè $At=b$, e dimostriamo che esiste $u in S$ tale che $t = x_0+u$. Scegliamo appunto $u = t-x_0$ e dimostriamo che sta in $S$. Questo è ovvio perché $At=b$ e $Ax_0=b$ quindi $Au = A(t-x_0) = At-Ax_0 = b-b = 0$. Fine.
Seconda inclusione: $E subseteq T$. Prendiamo $x_0+u in E$, con $u in S$. Dobbiamo mostrare che è soluzione di $Ax=b$. Ma questo è ovvio, perché $A(x_0+u)=Ax_0+Au=b+0=b$.
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