Ho un paio di problemi di Geometria che sfruttano idee interessanti. Scritti da me, il secondo pesantemente ispirato da un quesito che forse già conoscerete. Spero non risultino eccessivamente semplici alla risoluzione.
Problema 1. Sia $ABC$ un triangolo in cui $BC>CA$. Per il simmetrico $S$ dell'ortocentro di $ABC$ rispetto al lato $AB$ condurre le distanze $SX$ e $SY$ dalle rette $BC$ e $CA$ rispettivamente. Sia $P$ il punto d'intersezione del lato $AB$ con il segmento $SX$.
Dimostrare che gli angoli $\angle PCX$ e $\angle ASY$ sono congruenti.
Problema 2. Sia $P$ un punto interno a un triangolo acutangolo $ABC$. Definiamo i punti $A_1$ e $A_2$ come i due punti d'intersezione del lato $BC$ con la circonferenza passante per $P$ e centrata nel suo punto medio. Siano definiti analogamente i punti $B_1$ e $B_2$ e i punti $C_1$ e $C_2$.
Dimostrare che i punti $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1$ e $C_2$ giacciono su una medesima circonferenza se e solo se $P$ è l'ortocentro del triangolo $ABC$.