Devo trovare $a, b$ per i quali il teorema di Lagrange è applicabile alla funzione
$f(x) =$ \begin{cases} e^-x +2 & \mbox{for } x>0 \\ x^3+ax+b & \mbox{for } x<=0 \end{cases}
Studiando la continuità trovo $b=3$
Calcolando la derivata
$f'(x) =$ \begin{cases} -e^-x & \mbox{for } x>0 \\ 3x^2+a & \mbox{for } x<=0 \end{cases}
$lim(x->0^-) f'(x) = a$
$lim(x->0^+) f'(x) = -1$
Quindi trovo $a=-1$
EDIT: trovato errore e corretto il testo