Scacchi e genitori

[3m0o]

Edit:

Sia \( k < n \) dove \(n\) è dispari e \(k\) pari. Mary deve giocare \(n\) partite di scacchi contro i suoi genitori alternando dopo ogni partita l'avversario. Per ricevere la paghetta mensile deve vincere almeno \(k\) partite. Se potesse scegliere contro chi giocare la prima partita, per massimizzare la probabilità di ricevere la paghetta, Mary dovrebbe scegliere il genitore più forte come primo opponente oppure il più debole?

E se dovesse vincere almeno \(k\) partite di seguito?

[axpgn]

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Sicuro che il problema sia proprio così? Perché in questa versione mi verrebbe da dire che è meglio iniziare dal più debole.
Conosco una versione più semplice con tre partite dove però il ragazzo deve vincerne due consecutive ed in quel caso è meglio iniziare dal più forte

[mgrau]

[spoiler]
Conosco una versione più semplice con tre partite dove però il ragazzo deve vincerne due consecutive ed in quel caso è meglio iniziare dal più forte

E come mai? Non sono comunque una partita col più forte e una col più debole?

[3m0o]

Hai visto l'ultima domanda ?(aggiunta dopo, ma prima della tua risposta, perché me ne ero scordato ahaha)

Ps: mgrau puoi citare axpgn mettendo lo spoiler perfavore?

[mgrau]

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Conosco una versione più semplice con tre partite dove però il ragazzo deve vincerne due consecutive ed in quel caso è meglio iniziare dal più forte

E come mai? Non sono comunque una partita col più forte e una col più debole?

[axpgn]

@mgrau
3m0o si riferiva al tuo post precedente, così non ha senso

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Nel caso citato da me, il ragazzo raggiunge il suo scopo se le vince tutte e tre oppure le prime due oppure le ultime due; in tutti i casi deve vincere la seconda quindi è meglio se se la gioca col più debole

@3m0o
In contemporanea
Quando ho inviato la tua aggiunta non c'era
Cosa ne pensi di ciò che ho scritto?

[mgrau]

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Nel caso citato da me, il ragazzo raggiunge il suo scopo se le vince tutte e tre oppure le prime due oppure le ultime due; in tutti i casi deve vincere la seconda quindi è meglio se se la gioca col più debole

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Francamente non mi convince. Lasciando il caso in cui le vince tutte e tre (non credo sia questo a fare la differenza, o sì?), deve comunque vincerne una col più debole e una col più forte. Che importanza ha l'ordine?

[axpgn]

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Per vincere, nel MIO caso, deve necessariamente vincere la seconda (quella di mezzo) mentre può perdere o la prima o la terza quindi quella necessaria è meglio giocarla contro il più debole mentre contro il più forte ha due possibilità di giocarsela non una sola.

[gabriella127]

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Nel caso citato da me, il ragazzo raggiunge il suo scopo se le vince tutte e tre oppure le prime due oppure le ultime due; in tutti i casi deve vincere la seconda quindi è meglio se se la gioca col più debole

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Francamente non mi convince. Lasciando il caso in cui le vince tutte e tre (non credo sia questo a fare la differenza, o sì?), deve comunque vincerne una col più debole e una col più forte. Che importanza ha l'ordine?

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Per la verità anche io avevo lo stesso dubbio di mgrau. Sono due possibilità di vincere il gioco, (escludendo che vince tutte e tre le partite, visto che se vince le prime due il gioco si ferma - in effetti se le giocasse comunque tutte e tre sarebbe diverso, vedi nota): una partita contro il debole e una contro il forte o viceversa, cambiando l'ordine.

Le due possibili sequenze di partite sono:

Debole Forte Debole oppure Forte Debole Forte.


Faccio un esempio con dei numeri, diciamo che con il debole vince con probabilità $1$ e con il forte con probabilità di $1/3$.
Deve vincere o entrambe le partite 1 e 2 o entrambe le partite 2 e 3 (eventi incompatibili $[1]$)

Nel caso cominci con il debole:

Probabilità di vincere il gioco= $1\cdot 1/3 +1/3 \cdot 1=2/3$

Nel caso cominci con il forte:

Probabilità di vincere il gioco=$1/3\cdot 1+1\cdot 1/3=2/3$.

Cambiando l'ordine degli addendi il prodotto non cambia, o come diceva Totò, è la somma che fa il totale!

___________________

$[1]$Nel caso giocasse comunque tutte e tre le partite, la mia fine mente probabilistica mi dice che gli eventi non sono più incompatibili e quindi il calcolo sarebbe diverso.
E lo direbbe anche Catalano: meglio giocare molte partite con un avversario debole e poche con uno forte che giocare molte partite con un avversario forte e poche con un debole.

[axpgn]

Ripeto ...

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Nella mia versione si giocano tre partite e si devono vincerne 2 consecutive; ciò implica che necessariamente va vinta la seconda ovvero vincere la prima e la terza NON serve a nulla se non si vince la seconda (anche avendo il 100% di probabilità di vittoria della prima e della terza ciò non servirebbe a nulla senza la vittoria nella seconda)
Detto questo, rimane la necessità di vincere una partita (ma solo una) con il giocatore più forte; ora voi vi giochereste tutte le vostre chances in una partita secca o in un doppio confronto? A me la risposta sembra ovvia, ma facciamo pure due conti: poniamo che io abbia solo il 30% di possibilità di vittoria contro il più forte; in una partita singola ho il 70% di probabilità di perderle tutte (cioè una), in due partite la probabilità di perderle entrambe è del 49% ... fate un po' voi ...