Salve a tutti, ho un dubbio con un esempio di sottospazio affine.
Sia $A_2$ il piano affine reale associato allo spazio dei vettori liberi $V^2$. Siano $A\in A_2, v\inV^2$. Considero $W=<v>\inV^2$. Allora $S(A,<v>)$ il sottospazio affine di $A_2$ passante per $A$ e di giacitura $<v>$ sarà formato da ${P\inA_2 | vec(AP) \in <v>}$.
Ora, un vettore libero non è altro che una classe di equivalenza formata da tutti i vettori applicati equipollenti a tale vettore. Se ad esempio in $R^2$ scelgo $v=(1,1)$, la classe di equivalenza di $[v]$ sarà formata da tutti quei vettori che, non solo giacciono sulla stessa retta passante per $v$, in questo caso $y=x$, e con la stessa lunghezza (quindi 1), ma anche su tutte le rette parallele a $y=x$ (sempre di "lunghezza 1). Giusto?
Il sottospazio vettoriale generato da un vettore libero quindi sarà formato da tutte le combinazioni lineari di tutti i vettori equipollenti a $v$?
Ovvero, non potrò generare tutto il piano, ma avrò un infinito numero di vettori concordi che riempiono ugualmente tutto il piano.
Allora quando mi si definisce il sottospazio affine come una retta passante per $A$ e parallela a $v$ è perché, detto brutalmente, tra tutte le "rette" (intese come infinitamente formate da vettori congruenti e concordi a v), scelgo quella che contiene il punto A? e quindi tutti i vettori $AP$ al variare di $P$ in $A_2$ equipollenti a $v$?
Non so se mi sono spiegato correttamente con quest'ultima cosa. So che non è corretta come definizione. Però sto cercando di dare un senso e un senso grafico al tutto per poi magari poterlo estendere ad altri spazi vettoriali.
Vi ringrazio per l'aiuto.