Sia \(\displaystyle\alpha\) una radice intera del polinomio dato, per le formule di
Viète-Girard tu hai che \(\displaystyle\alpha\) divide \(\displaystyle p^n\) quindi dev'essere:
\[
\alpha\in\{\pm p^k\in\mathbb{Z}\mid k\in\{0,...,n\}\}
\]
da cui si deve scegliere una radice negativa, altrimenti si avrebbe una quantità positiva.
Per ipotesi \(\displaystyle n=2m\) è un numero intero pari, quindi:
\[
(-p^k)^n+p(-p^k)^{n-1}+...p^{n-1}(-p^k)+p^n=p^{kn}-p^{kn-k+1}+...-p^{n+k-1}+p^n=\sum_{h=0}^n(-1)^hp^{k(n-h)+h}=\\
=p^n\sum_{h=0}^n(-1)^hp^{n(k-1)+h(1-k)}=p^n\sum_{h=0}^n(-1)^hp^{(n-h)(k-1)}=p^{2m}\sum_{h=0}^{2m}p^{(2m-h)(k-1)}
\]
ragionando solo sul secondo fattore:
\[
\sum_{h=0}^{m-1}\left(p^{[2m-(2h+1)](k-1)}p^{2(m-h)(k-1)}\right)+p^{m(k-1)}>0
\]
in quanto:
\[
\forall a,b\in\mathbb{N},\,a^b>a^{b-1}.\,\mathrm{Q.E.D.}\,\Box
\]
P.S.: Che schifo di risveglio: risolvere un problemino di TdN di prima mattina, io che odio i num(m)eri... Quasi quasi spero che la soluzione sia sbagliata!
EDIT: Avevo sbagliato degli esponenti!