Mi sono imbattuto in un paradosso su funzioni e insieme vuoto.
Sia A={a} un insieme. Consideriamo l'insieme delle parti di A e l'insieme dell'insieme delle parti dell'insieme delle parti di A
P(A)={{a},∅}={A,∅}
PP(A))={P(A),∅,{A},{∅}}
Ora consideriamo la funzione che manda PP(A) in PP(A)
f:PP(A)->PP(A)
definita da
f(X)=X∪{∅} con X∈P(A)
Valuto f su ∅
f(∅)=∅∪{∅}={∅}
Adesso mi chiedo chi è la controimmagine di ∅. Deve essere f(X)=∅
X∪{∅}=∅ ma questo è impossibile perchè a sinistra X∪{∅} contiene almeno ∅, quindi ha almeno un elemento, mentre ∅ a destra non contiene elementi. Ne segue che ∅ non ha controimmagini e verrebbe da scrivere che
f−1(∅)=∅
ma questo implica che f(∅)=∅ che è in contraddizione con f(∅)=∅∪{∅}={∅}.
Dove sbaglio?