da sellacollesella » 28/01/2024, 12:06
Ma i calcoli li fai con il pallottoliere? Non trovo altra spiegazione, non ne azzecchi uno nemmeno per sbaglio.
Come hai giustamente scritto, il centro \(C\) della circonferenza si trova intersecando il fascio di piani \(\pi_k\) con \(s\): \[
\pi_k\,:\, 2x+y-z+k=0,
\quad \quad \quad
s\,:\,
\begin{cases}
x = -1+2t \\
y = 1+t \\
z = 2-t \\
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}
\] che banalmente implica la risoluzione di una equazione lineare in una incognita: \[
2(-1+2t)+(1+t)-(2-t)+k=0
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
t = \frac{3-k}{6}
\] da cui le coordinate del centro tanto desiderate: \[
C\left(-\frac{k}{3},\frac{9-k}{6},\frac{9+k}{6}\right).
\] A questo punto, per determinare un punto \(P\) appartenente alla circonferenza basta intersecare \(\pi_k\) con \(r\): \[
\pi_k\,:\, 2x+y-z+k=0,
\quad \quad \quad
r\,:\,
\begin{cases}
3x - 2z + 3 = 0 \\
5x - 2y + 3 = 0 \\
\end{cases}
\] che equivale a risolvere un sistema di tre equazioni lineari in tre incognite: \[
\begin{cases}
2x + y - z + k = 0 \\
3x - 2z + 3 = 0 \\
5x - 2y + 3 = 0 \\
\end{cases}
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad P(\dots,\,\dots,\,\dots).
\] Infine, non rimane che risolvere l'equazione \(||P-C||=2\sqrt{2}\) per determinare i \(k\) risolventi.