Il mio dubbio è il seguente:
In elettromagnetismo è possibile definire un potenziale scalare elettrico ed un potenziale vettore magnetico e si dimostra che rispettano le seguenti equazioni:
$\nabla ^2V = -\rho /\epsilon _0$
$\nabla ^2\vecA = -\mu_0\vecj $
Che vengono rispettivamente risolte da:
$V = 1/(4\pi\epsilon_0) \int (\rho dV')/||\vecr - \vecr'||$
$\vecA = \mu_0/(4\pi) \int (\vecj dV')/||\vecr - \vecr'||$
Nei testi che ho consultato queste soluzioni non vengono motivate e volevo sapere da dove vengono fuori.
Quello che ho fatto cercando di darmi una risposta e usare un metodo simile a quello usato per risolvere l'equazione di Laplace, ho supposto essere la soluzione del tipo $f(r)$ dove $r = sqrt((x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2)$
Allora $\nabla^2f = (\partial^2 f)/(\partial r^2) + 2/r (\partial f)/(\partial r)$
Quindi per essere una soluzione $f$ deve verificare l'equazione differenziale lineare:
$(\partial^2 f)/(\partial r^2) + 2/r (\partial f)/(\partial r) = -\rho/\epsilon_0$
Da cui la soluzione dell'omogenea associata sarà del tipo $c_1/r + c_2$
Mentre una soluzione particolare dell'equazione completa usando il metodo di variazione delle costanti risulta essere: $1/r \int \rho/\epsilon_0 r^3 dr - \int \rho/\epsilon_0 r dr$
Quindi la soluzione generale sarà:
$f(r) = c_1/r + c_2 + 1/r \int \rho/\epsilon_0 r^3 dr - \int \rho/\epsilon_0 r dr$
Imponendo come condizione al contorno che $f(r) = 0$ se $r\rightarrow\+infty$
La soluzione diventa $f(r) = 1/r(c_1 + \int \rho/\epsilon_0 r^3 dr )$
Da qui non so più come procedere per ricondurmi alla soluzione presentata all'inizio, inoltre diventa un problema il fatto che $\rho = \rho(x,y,z)$ e sta venendo integrata in $r$.
Se qualcuno sa aiutarmi a risovere questo problema gli sarei grato.
Ringrazio in anticipo chi mi risponderà