Se l'esercizio ti avesse assegnato la parabola tramite equazione cartesiana: \[
\alpha x^2+\beta y^2+\gamma xy+\delta x+\epsilon y+\zeta=0
\] applicando la
trasformazione geometrica che hai correttamente determinato, ossia sostituendo al posto
di \(x\), \(y\) le rispettive espressioni dipendenti da \(u\), \(v\) e semplificando, avresti ottenuto un'equazione del tipo: \[
u = av^2
\] che è una forma canonica della parabola. D'altro canto, il testo dell'esercizio non sta richiedendo l'equazione cartesiana, non devi fare alcun conto brutto e puzzolente, ti basta determinare la rispettiva trasformazione.
Quindi, ora abbiamo che: \[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 \\
3 \\
\end{bmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
at^2 \\
t \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 \\
3 \\
\end{bmatrix}
\] dove non ho fatto altro che parametrizzare la parabola in forma canonica ponendo \(v=t\), quindi \(u=at^2\). Quest'ultima relazione ci permette di sfruttare il dato ancora non usato, ossia \(P(-5,8)\). Forza, dai!