Ciao a tutti,
non riesco a capire un esercizio:
"Data la funzione $ f(z) = cosz/((z^2+1)(z+i)) $ il residuo $ Res_(f)(-i) $ è un numero reale"
Questo è il mio procedimento:
$ f(z) = cosz/((z^2+1)(z+i)) = cosz/((z-i)(z+i)(z+i))=cosz/((z-i)(z+i)^2) $
$ Res_(f)(-i) = lim_(z -> -i) d/dz [(z+i)^2cosz/((z-i)(z+i)^2)]=lim_(z -> -i) d/dz [cosz/(z-i)] $
dopo vari passaggi arrivo alla conclusione
$ Res_(f)(-i) = (cos(-i)-2isin(-i))/(4) =(cosh(1) -2i*isinh(1))/4 = (cosh(1)+2sinh(1))/4 $
Se il tutto è corretto la mia domanda verte sulle funzioni trigonometriche complesse. Sinceramente non mi è mai capitato un argomento complesso in una funzione trigonometrica o in altre funzioni come ad esempio il logaritmo. Come ci arrivo a tale risultato? Cioè o lo si sa o no. Quali passaggi dovrei fare per arrivare da $ cos (i) $ a $ cosh (1) $ e da $sin(-i)$ a $isinh(1)$?
Grazie in anticipo!!