Per risolvere un
sistema lineare del tipo: \[
A\mathbf{x}=\mathbf{b}
\] possiamo fare riferimento a due semplici
metodi iterativi:
- il metodo di Jacobi: \(\mathbf{x}^{(k+1)}=D^{-1}\mathbf{b}-D^{-1}(A-D)\mathbf{x}^{(k)}\);
- il metodo di Gauss-Seidel: \(\mathbf{x}^{(k+1)}=L_*^{-1}\mathbf{b}-L_*^{-1}(A-L_*)\mathbf{x}^{(k)}\);
dove \(D\) è una matrice diagonale ed \(L_*\) una matrice triangolare inferiore.
Ebbene, individuate le rispettive
matrici di iterazione, ossia: \[
B_J := D^{-1}(A-D), \quad\quad\quad B_{GS} := L_*^{-1}(A-L_*)
\] condizione necessaria e sufficiente affinché convergano per ogni scelta di \(\mathbf{x}^{(0)}\) è che risulti: \[
\rho(B) < 1
\] ossia se e soltanto se gli autovalori di \(B\) hanno tutti modulo strettamente minore di \(1\).
Bada bene che tale condizione è necessaria per avere convergenza
per ogni scelta di \(\mathbf{x}^{(0)}\), ma questo non vuol dire che se tale condizione non è soddisfatta allora di sicuro quei metodi non convergono, se ti va a culo ogni tanto potrebbero convergere lo stesso, solo che a nessuno piace fare le cose basandosi sulla fortuna!
Inoltre, come scritto da
ingres, non è strettamente necessario calcolare gli autovalori di \(B\), bensì
si può risalire al loro modulo in modo indiretto applicando opportuni criteri, come il
criterio di Jury.D'altro canto, dato che calcolare le
matrici di iterazione \(B\) potrebbe essere comunque dispendioso, specie se
i conti si fanno a mano, vi sono dei criteri che si basano direttamente sulla
matrice del sistema \(A\), che però forniscono solo delle condizioni sufficienti a stabilire la convergenza per ogni scelta di \(\mathbf{x}^{(0)}\), ossia garantiscono la convergenza solo internamente a degli intervalli, mentre esternamente non danno alcuna informazione.
Un primo criterio, valido sia per il metodo di Jacobi che per il metodo di Gauss-Seidel, garantisce la convergenza per ogni scelta di \(\mathbf{x}^{(0)}\) quando \(A\) è una matrice a dominanza diagonale stretta per righe. Un secondo criterio, in generale valido solo per il metodo di Gauss-Seidel, garantisce la convergenza per ogni scelta di \(\mathbf{x}^{(0)}\) quando \(A\) è una matrice simmetrica e definita positiva.
Come già dimostrato in messaggi precedenti, non è dato sapere quale dei due criteri fornisca l'insieme di convergenza più ampio, per cui se sei interessato a ciò non ti rimane che applicarli entrambi e considerare quello più ampio. Se, invece, devi eseguire gli ordini impartiti dal vostro docente, non te ne fregherà minimamente se il criterio imposto sia il migliore o meno, esegui gli ordini e buonanotte!
Circa l'ultimo esempio da te allegato, c'è chiaramente un errore di battitura, dato che a quella matrice non essendo simmetrica non possiamo applicare il secondo criterio, quello valido solo per Gauss-Seidel. Se provi
a mettere uno zero al posto dell'uno vedrai che otterrai gli stessi e identici risultati scritti nella soluzione.