Guarda, in realtà non c'è nessuna differenza sostanziale; il punto è che cambia l'oggetto per cui devi verificare se è soddisfatta una certa proprietà caratteristica.
Tanto per capirci, una definizione estensiva
1 di insieme è qualcosa del tipo:
\[
X = \Big\{ x:\ p(x)\Big\}
\]
in cui $p(x)$ è una proprietà "buona" che coinvolge la variabile $x$; la variabile $x$ è una variabile libera, cioè non quantificata, e può essere qualsiasi cosa (ad esempio un numero, un'insieme, una funzione, un'oggetto geometrico, etc...) in base al contesto del discorso e della definizione.
In quest'ottica, una definizione estensiva di un sottoinsieme di numeri reali è qualcosa del tipo:
\[
X = \Big\{ x\in \mathbb{R}:\ p(x)\Big\}
\]
in cui il soggetto $x$ della proprietà è
un numero reale; invece, una definizione estensiva di una famiglia di sottoinsiemi di $RR$ è qualcosa del tipo:
\[
\mathcal{X} = \Big\{ X\subseteq \mathbb{R}:\ p(X)\Big\} = \Big\{ X \in \mathcal{P}(\mathbb{R}):\ p(X)\Big\}
\]
in cui il soggetto $X$ della proprietà è
un insieme di numeri reali.
Nel caso della definizione di intervallo, quella che stiamo dando è la definizione estensiva di una famiglia di sottoinisiemi di $RR$ (gli intervalli, appunto) e la proprietà caratteristica è quella espressa dalla proposizione:
\[
\tag{$\star$} \forall x \in \mathbb{R},\ \inf I < x < \sup I\ \Rightarrow\ x \in I
\]
in cui la variabile libera è $I$, non $x$; quindi la proprietà $(***)$ non definisce (e non può farlo) un singolo sottoinsieme di $RR$, ma una famiglia di sottoinsiemi di $RR$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
(ho googlato perché facendomi due disegni mi sembrava funzionare e mi pare vero) ma non ho la più pallida idea di come formalizzarlo. Devo percorrere questa strada? Sono davvero paralizzato con le idee 
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