Quasar3.14 ha scritto:Vi vorrei chiedere se, per favore, potreste aiutarmi con questa serie?
$ \sum_{n=1}^\infty\ (ln(n))/n^2 $
Anche questa sono sicuro che sia già stata risolta in qualche post, ma siccome non ho voglia di andare a cercarlo te la risolvo di nuovo...
Facendo uso della disuguaglianza $ln x < x $, che vale $\forall x > 0 $, si pone $x := n^{\alpha} $, ove $\alpha $ è un qualsiasi numero positivo, sicché si ha:
$ln n^{\alpha} < n^{\alpha}$
$\alpha ln n < n^{\alpha}$
$ ln n < n^{\alpha}/(\alpha) $
Quindi si ha:
$ \sum_{n=1}^{+ \infty} (ln(n))/n^2 < 1/\alpha \sum_{n=1}^{+ \infty} 1/n^{2 - \alpha}$
Se scegliamo ad esempio il comodo valore $\alpha = 1/2 $, l'ultima scritta sulla destra è la serie armonica generalizzata con $p := 2 - \alpha = 2 - 1/2 = 3/2 > 1 $, notoriamente convergente.