Ciao a tutti,
ho un dubbio circa il calcolo del dominio e dell’immagine di una funzione composta.
Le funzioni sono $f(x)=(2x+1)/(x-2)$ e $g(x)=sqrt(1+x)$
La funzione $y=f(g(x))$ e $(2sqrt(1+x)+1)/(sqrt(1+x)-2)$
Il dominio della funzione composta è $[-1,3)U(3,+infty)$ in quanto $x+1>=0$ e $(sqrt(1+x)-2)!=0$ quindi $x!=3$ per le condizioni di esistenza.
Per trovare l’immagine riscrivo il tutto in funzione di $x$.
Quindi ottengo $y(sqrt(1+x)-2)= 2sqrt(1+x)+1$ svolgendo i calcoli arrivo a $sqrt(1+x)=(2y+1)/(y-2)$
Ora poiché $(1+x)>=0$ anche $(2y+1)/(y-2)>=0$ per concordanza tra il primo ed il secondo membro dell’equazione.
$(2y+1)/(y-2)>=0$ ha come risultato $(-infty, -1/2] U (2, +infty) $
La prima domanda è, per voi i passaggi fatti fino ad adesso vi risultano corretti?
La seconda è, il risultato ottenuto è già l’immagine della funzione composta? In tal caso, posso già terminare lo svolgimento dell'esercizio?
La seconda domanda è dovuta al fatto che se continuo i calcoli avrò lo stesso risultato, infatti ottengo
$1+x=(4y^2+1+4y)/(y^2-4y+4)$
$x=(3y^2+8y-3)/(y^2-4y+4)$
Metto a sistema
${(x>=-1), (x=(3y^2+8y-3)/(y^2-4y+4)):}$
Sostituendo il valore di $x$ dell'equazione all'interno della disequazione, svolgendo i calcoli ottengo nuovamente $(-infty, -1/2] U (2, +infty)$.