Che Newton non fosse un pivello questo lo sappiamo con certezza!... Supponiamo però che, ad oltre tre secoli di distanza, a un condannato a morte si offra la grazia se riesce, disponendo della sola calcolatrice a mano, a calcolare il numero $e$ con cinque [o magari sei...
] cifre esatte prima dell'esecuzione prevista fra otto ore...
Che l'applicazione diretta della definizione di $e$ non sia particolrmente comoda è evidente, Questo non è di soddisfazione al nostro condannato a morte il quale deve trovare qualche marchingegno atto a risolvere il problema. Già ma come fare?...
Una soluzione potrebbe essere quella di usare la formula generale...
$e^t=lim_(n->+oo) (1+t/n)^n$ (1)
... con l'intento di calcolare la radice k-esima di $e$ e poi ricavare $e$ elevando il valor trovato alla $k$, cosa che in fin dei conti richiede solamente $k$ moltiplicazioni . Esaminando alcuni possibili casi si trova [verificare per credere...] ...
$k=1/2$ -> $e^(1/2)=lim_(n->+oo) (1+1/(2n))^n$
In questo caso per ottenere cinque cifre esatte sono necessarie $9689$ iterazioni, sei cifre esatte $162185$ iterazioni... ehm!... ancora siamo lontani...
$k=1/10$ -> $e^(1/10)=lim_(n->+oo) (1+1/(10n))^n$
In questo caso per ottenere cinque cifre esatte sono necessarie $78$ [!...
] iterazioni, sei cifre esatte $6019$ operazioni... per il condannato c'è qualche barlume di speranza...
$k=1/20$ -> $e^(1/20)=lim_(n->+oo) (1+1/(20n))^n$
Ora per ottenere cinque cifre esatte sono necessarie $19$ [!!...
] iterazioni [più altre venti moltiplicazioni fanno $39$ in tutto...] e per sei cifre esatte $1199$ iterazioni... per il condannato in tal caso si profila una bella bevuta alla memoria di Isaac Newton!!!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature