Ciao a tutti, sono Marco, ho 17 anni e faccio la quarta di scienze umane.
Stavo provando a fare questo problema del test d'ammissione della Normale di Pisa
"Si consideri il polinomio:
\(\displaystyle p(x, y) = \frac{(x + y) ^ 2 + 3x + y}{2}\)
(...)
3) Si dimostri che la funzione \(\displaystyle p: \mathbb{N}^2 \mapsto \mathbb{N}\) che associa a (x, y) il numero naturale p(x, y) è invertibile"
Quello che ho provato a fare io è stato
a = x + y (per comodità)
\(\displaystyle 2p = a ^ 2 + a + 2x\)
\(\displaystyle a ^ 2 + a + 2x - 2p = 0\)
\(\displaystyle a = \frac{\sqrt{1 - 8x + 8p} - 1}{2}\)
(considero solo la radice positiva ovviamente)
Ora, il radicando dev'essere un quadrato perfetto, e anche un numero dispari (sennò non sarebbe divisibile per 2)
\(\displaystyle \sqrt{1 - 8x + 8p} = 2n + 1\)
\(\displaystyle 1 - 8x + 8p = 4n^2 + 4n + 1\)
\(\displaystyle x = -\frac{n^2 + n}{2} + p\)
Ricavo anche y
\(\displaystyle a = \frac{\sqrt{1 - 8x + 8p} - 1}{2}\)
\(\displaystyle y = \frac{2n + 1 - 1}{2} - x\)
\(\displaystyle y = \frac{n^2 + 3n}{2} - p\)
Quindi, per il momento
\(\displaystyle p^{-1} = (-\frac{n^2 + n}{2} + p, \frac{n^2 + 3n}{2} - p) \)
Per ogni n, x e y sono sempre interi ma non sempre positivi. Pongo entrambi maggiori \(\displaystyle \geq 0 \)e ottengo
\(\displaystyle \frac{\sqrt{9 + 8p} - 3}{2} \leq n \leq \frac{\sqrt{1 + 8p} - 1}{2}\)
Devo solo più dimostrare che c'è un solo n intero positivo compreso tra quei numeri, ma come?
Per il momento ho solo più fatto
\(\displaystyle \frac{\sqrt{1 + 8p} - 1}{2} - \frac{\sqrt{9 + 8p} - 3}{2} < 1\)
\(\displaystyle \sqrt{1 + 8p} - \sqrt{9 + 8p} + 2 < 2\)
\(\displaystyle \sqrt{1 + 8p} < \sqrt{9 + 8p}\)
\(\displaystyle 1 < 9\)
Che è sempre vero, ok. Ma così ho solo dimostrato che c'è al massimo un intero tra quei numeri, ma potrebbe anche non esserci, no? Come faccio?
Chiedo
1) come concludo con il mio procedimento?
2) è un procedimento corretto?
3) voi come lo risolvereste?
Grazie mille