Mi scuso per il titolo poco chiaro ma non sapevo come riassumere meglio la questione.
Sappiamo che: se la successione $(X_n)_{n\ge1}$ converge quasi certamente a una v.a. $X$, allora $(X_n)_{n\ge1}$ converge in probabilità a $X$. Mi si chiede il controesempio se al posto della definizione di convergenza in probabilità uso la convergenza in misura $\sigma$-finita $\mu$. Cioè: se $f_n$ converge quasi ovunque a $f$, non è detto che converga in misura.
Ho pensato a questo caso:
-$\Omega = R$;
-$\mu$ misura di Lebesgue;
-$f_n = I_{[n,n+1]}$, cioè l'indicatrice degli intervalli $[n,n+1]$.
Secondo me $f_n$ tende quasi ovunque a $0$, ma $\lim_{n \to \infty}\mu\{|f_n|>\epsilon\}=1$ in quanto la misura degli intervallini è sempre 1.
Va bene come controesempio?
Il problema è che se anche andasse bene, per me sarebba un percorso buono anche se $\mu$ fosse una probabilità (cioè con $X_n$ come indicatrici non convergono in probabilità alla v.a. nulla).
Dove sbaglio?
Grazie dell'aiuto in anticipo