Un collezionista ha già raccolto 60 delle 100 figurine di un album.
Egli acquista una busta contenente 24 figurine (tutte diverse),
tra le quali naturalmente ve ne possono essere alcune che egli già
possiede. Qual è la probabilità che, tra le figurine appena
acquistate, ve ne siano più ($>=$) di 20 di quelle che
egli già possiede? In media quante "nuove" figurine troverà nella busta?
Io ho ragionato così: introducendo la variabile aleatoria X che conta
il numero di "nuove" figurine, ovvero delle figurine che NON sono
uguali a quelle già possedute dal collezionista, occorre calcolare:
$P{X<=4}$. Ogni figurina ha probabilità $p=1/24$ di trovarsi nella
busta, dato che ognuna è diversa dalle altre, inoltre il fatto che
una figurina sia "nuova" non dice nulla sulla tipologia delle altre
figurine, cioè sono tutti eventi indipendenti. Possiamo allora applicare
lo schema successo-insuccesso di Bernoulli (o binomiale), cioè la
probabilità di avere $k$ successi in $n$ prove indipendenti:
$p(k)=((n),(k))p^k(1-p)^(n-k)
dove $p$ è la probabilità di successo.
In questo caso noi dobbiamo calcolare $P{X=k<=4}$ quindi la
probabilità richiesta sarà:
$P{k<=4}=sum_(k=0)^4 ((24),(k))(1/24)^k(23/24)^(24-k)
e la media sarà:
$E[k]=sum_(k=0)^oo k* ((24),(k))(1/24)^k(23/24)^(24-k)$.
Il ragionamento è corretto?