esercizio gravitazione ..

[Polis]

Secondo voi e' corretto usare la terza legge di Newton per risolvere il seguente esercizio ?

Un' astronave parte dalla terra verso la Luna .
Il suo percorso , cioè la distanza Terra-Luna e' di 3.8 * 10^5 km ' la massa della terra e' di 5.8*10^24 e la massa della luna e' di 7.3*10^22 kg . A che distanza dalla terra , la forza di attrazione gravitazionale terrestre e quella lunare si equilibrano?

Secondo me dopo aver trovato la forza gravitazionale della terra e quella della luna , si pone la seguente equazione F = - F pero' non ne sono convinto .
Grazie .

[navigatore]

Devi proprio trovare il punto in cui le attrazioni gravitazionali di Terra e Luna si fanno equilibrio, quindi hanno lo stesso modulo.
Ma questo non significa che stai applicando la terza legge della Dinamica.

[Polis]

Grazie per aver risposto.

Forse una volta trovati i due moduli li sommo e li divido per due.

[navigatore]

Grazie per aver risposto.

Forse una volta trovati i due moduli li sommo e li divido per due.

E forse sbagli...a che ti serve? Se sono uguali! Pensaci : $ (F + F)/2 = F $

Devi trovare la distanza dalla Terra a cui si verifica questa uguaglianza di forze.

[Polis]

Sapendo che la gravita' terrestre e' 9.81N e quella lunare di 1.63N applicando la formula Fterra = m1* 9.81N. Fluna = m2 * 1.63N . Sommando queste due forze e dividendo per la distanza terra luna , dovrei trovare la soluzione !!!

[navigatore]

No Polis. Rifletti bene. Non ti è chiara la richiesta del problema.

Hai che : $TL = 380000 km$ (distanza Terra-Luna)

L' astronave $A$ ha una massa $m$. Ad una distanza $TA$ dalla Terra, la forza di attrazione gravitazionale vale :
$F_t = G(M_T*m)/(TA)^2$

In quello stesso punto, la distanza dalla Luna è : $AL = TL - TA$ , e la forza di attrazione gravitazionale della Luna sull'astronave vale :

$F_l = G(M_L*m)/(AL)^2$

Se le due forze devono essere uguali : $ F_t = F_l$ , deve essere, uguagliando i secondi membri delle espressioni delle forze e semplificando quello che c'è da semplificare :

$(M_T)/(TA)^2 = (M_L)/(AL)^2 $

Questa , unitamente a $ TL = TA + AL$ , ti permette di ricavare le due distanze dell'astronave, dalla Terra e dalla Luna.

[Cuspide83]

Forse sei un pò confuso in merito: allora questa è la forza che agisce su una massa generica \(m\) da una massa \(M\) che può essere ad esempio la terra
\[\gamma\frac{mM}{d^{2}}=ma\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}a=g=\gamma\frac{M}{d^{2}}\]
Ora questa accelerazione è quella di gravità della massa \(M\) e se tu osservi questa non è costante perchè dipende dalla distanza \(d\), al massimo puoi dire che se consideri una sfera con centro coincidente con la posizione della massa \(M\) allora su ogni punto di questa superficie la gravità è costante.
Quindi la gravità della terra \(g_{T}=9.81 m/s^{2}\) e quella della luna \(g_{L}=1.63 m/s^{2}\), sono tali solo quando ti trovi sulle superfici dei rispettivi corpi celesti.
Altra cosa

Sapendo che la gravita' terrestre e' 9.81N e quella lunare di 1.63N

come puoi vedere sopra, la gravità non è una forza ma un'accelerazione!!!

[Polis]

Sto provando a ricavarmi la distanza Astr-Luna pero' non e' facile .

[Cuspide83]

Come non è facile? Te lo ha scritto sopra navigatore, distanza tella-luna \(=d\), distanza nave-terra\(=d_{1}\), distanza nave-luna\(=d_{2}\)
\[d=d_{1}+d_{2}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}d_{2}=d-d_{1}\]
Quindi ti serve conoscere \(d_{1}\) per conoscere \(d_{2}\), e come lo trovi? Beh come ti aveva di nuovo scritto navigatore
\[\frac{M_{T}}{d^{2}_{1}}=\frac{M_{L}}{d^{2}_{2}}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\frac{M_{T}}{d^{2}_{1}}=\frac{M_{L}}{(d-d_{1})^{2}}\]

[Polis]

Quindi risolvendo questa equazione mi diventa :

Mt ( d - d1)^2 = Ml (d1)^2 -----> Mt(d^2 + d1^2 -2dd1) = Ml*d1^2 e arrivo a questa soluzione :

Mt*d^2 + Mt*d1^2 - 2Mt*d*d1 = Ml*d1^2

Mt*d^2 + Mt*d1^2 - 2Mt*d*d1 - Ml*d1^2 = 0 e a questo punto mi perdo