Matrici che commutano

Messaggioda gugo82 » 21/10/2013, 21:59

Domanda a bruciapelo, che probabilmente richiede una risposta non banale... Ma non vi preoccupate: credo di non poter leggere il forum fino a giovedì. :wink:

Esistono delle caratterizzazioni delle matrici quadrate che commutano?
In altri termini, se \(A,B\in \mathbb{M}(n;\mathbb{R})\) sono tali che \(AB=BA\), che relazione c'è tra \(A\) e \(B\)?

Se non ricordo male, c'è qualche relazione tra gli autospazi, o qualcosa del genere... Ma al momento non so dove reperire questa informazione.
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Re: Matrici che commutano

Messaggioda Pappappero » 22/10/2013, 02:08

Due matrici diagonalizzabili commutano se e solo se sono simultaneamente diagonalizzabili nel senso che esiste una base di autovettori comuni.

La dimostrazione e' facile, ma c'e' qualche trucchetto che al momento non ricordo e non ho un testo a portata di mano. Tra un paio d'ore aggiorno.

Ci dovrebbero essere delle riduzioni che valgono per matrici quadrate qualsiasi; probabilmente basta che siano simultaneamente triangolabili (si dice cosi'?), nel senso che esiste una base in cui sono entrambe in forma di Jordan.
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Re: Matrici che commutano

Messaggioda vict85 » 22/10/2013, 10:38

Pappappero ha scritto:Due matrici diagonalizzabili commutano se e solo se sono simultaneamente diagonalizzabili nel senso che esiste una base di autovettori comuni.

La dimostrazione e' facile, ma c'e' qualche trucchetto che al momento non ricordo e non ho un testo a portata di mano. Tra un paio d'ore aggiorno.


NOn conoscevo il risultato comunque questo dovrebbe bastare:
\(\displaystyle AB = S^{-1}SAS^{-1}SBS^{-1}S = S^{-1}D_AD_BS = S^{-1}D_BD_AS = S^{-1}D_BSS^{-1}D_AS = BA \)

Pappappero ha scritto:Ci dovrebbero essere delle riduzioni che valgono per matrici quadrate qualsiasi; probabilmente basta che siano simultaneamente triangolabili (si dice cosi'?), nel senso che esiste una base in cui sono entrambe in forma di Jordan.


Non sono sicuro che due matrici in forma di Jordan commutino.
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Re: Matrici che commutano

Messaggioda Pappappero » 22/10/2013, 15:00

Mi sono dimenticato di aggiornare.

Quello che hai mostrato basta per dire che se hanno gli stessi autovettori allora commutano. Il viceversa e' piu' complicato.

Per il secondo punto, quello che ricordo e' che dovrebbero commutare se hanno gli stessi autospazi generalizzati, che dovrebbe essere di piu' (o forse di meno) di una base in cui sono entrambe in forma di Jordan; vuol dire proprio che hanno gli stessi blocchi di Jordan, e in quel caso (forse) commutano. Ma non trovo una fonte.

Pero' sono d'accordo, non puo' essere esattamente cosi'. Se ad esempio prendiamo la matrice $A$ che manda $e_1$ in $0$, $e_2$ in $e_1$ e $e_3$ in $e_2$, e $B$ fatta nello stesso modo scambiando i ruoli di $e_2$ e $e_3$, queste hanno lo stesso, unico, autospazio generalizzato, ma non possono commutare. Torna che possono essere portate simultaneamente in forma di Jordan? (considerando che $A$ e' gia' in forma in Jordan e $B$ no, mi sembra strano...ma confesso di non ricordo l'algoritmo e non ho voglia di fare i conti...)
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Re: Matrici che commutano

Messaggioda vict85 » 22/10/2013, 15:56

Certo, la mia intenzione era dimostrare quell'implicazione.

Posso però provare a dimostrare il viceversa. Consideriamo matrici quadrate diagonalizzabili \(A\) e \(B\), che commutano tra loro. Supponiamo inoltre che si abbia \(SAS^{-1} = D\), con \(D\) diagonale, e \(SBS^{-1} = C\) con \(C\) qualsiasi. Voglio dimostrare che C deve essere diagonale.

Siccome le due matrici commutano si ha che \(DC = CD\) cioè, espresso in componenti, \(d_jc_{ij} = d_ic_{ij}\). Questa condizione è banalmente uguale a \((d_j - d_i)c_{ij} = 0\) per ogni \(i,j\), ovvero \(D\) — nonché \(A\) — è una matrice scalare, oppure \(c_{ij} = c_{ii}\delta_{ij} \).

Rimane da analizzare il caso di matrici non diagonalizzabili.
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Re: Matrici che commutano

Messaggioda Pappappero » 22/10/2013, 16:12

Potresti avere $c_{ij} \ne 0$ per qualche $i \ne j$ e in corrispondenza $d_i - d_j = 0$, ovvero un autovalore doppio.

Cosi al volo ho trovato questo Wiki. Ci sono anche un sacco di post su mathstackexchange sullo stesso argomento.

Sono certo che una dimostrazione ben fatta sia su Cox Little O'Shea: Ideals varieties and algorithms, ma non ho il testo a portata di mano. Credo che ci sia anche su qualche testo di algebra, ad esempio in Hungerford, che personalmente odio, nel capitolo sulla decomposizione di moduli su un PID, quando si parla di matrici compagne.
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Re: Matrici che commutano

Messaggioda vict85 » 22/10/2013, 16:34

Si, hai ragione.
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Messaggioda Paolo90 » 22/10/2013, 17:39

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