[Modulo,direzione e verso] Vettori

[Tano]

Salve a tutti ragazzi,
Come da titolo..
"Una nave si sposta di 1.5 Km verso Nord, prosegue per 1.8 Km verso Ovest e poi per 0.7 Km verso Sud-Est.
Determinare modulo e direzione dello spostamento risultante.

Allora so che un vettore è dato da direzione,verso e modulo:
1) direzione: retta su cui giace tale vettore;
2) verso: indicato dalla punta o freccetta di tale vettore;
3) modulo: lunghezza di tale segmento vettore; ( ricordando che il modulo di un vettore è uno scalare mentre non vale lo stesso discorso per le sue componenti)
Inoltre ricordiamo sia la regola del parallelogramma per la somma e la differenza tra vettori sia il prodotto scalare e vettoriale.

Ora,ritornando al problema,qualche buon'anima cortesemente mi saprebbe dire come impostarlo?
Ho provato,ovviamente sbagliando,a fare la somma dei vari moduli per calcolare il modulo risultante..

[navigatore]

Be', sai quasi tutto sui vettori, e non sai risolvere l'esercizio ?

Prendi un foglio di quaderno, disegna degli assi cartesiani (asse $y$ verso Nord, asse $x$ verso Est), e piazza i vettori come ti dice la traccia : il risultante, ovvero la "somma vettoriale" , è quello che ti serve.
LA componente su $x$ del risultante è la somma delle componenti su $x$ dei tre vettori. E pure su $y$, stessa cosa...

[Tano]

Ho disegnato gli assi cartesiani..
Quindi , se ho capito bene ricercare il modulo dello spostamento risultante significa che dati i tre vettori , mi calcolo il modulo per ognuno e poi li sommo tutti e tre..(correggimi per favore se dico cavolate xD)
Quindi nel caso del problema ho che:
1)1.5 Km verso Nord,ho un vettore a perpendicolare all'asse x, quindi essendo che:
-il modulo è la radice quadrata dei quadrati delle componenti
-che la componente sull'asse x è uguale in questo caso a 1.5 * cos 90°= 0
--che la componente sull'asse y è uguale in questo caso a 1.5 * sin 90°=1.5
Allora etc etc.....( e faccio lo stesso discorso anche per gli altri vettori)
Procedo bene ?

[Tano]

Ovvero:
1) vettore a=1.5 Km (verso nord)
a(x) = 1.5 x cos 90°=0
a(y) = 1.5 x sen 90°=1.5

2)vettore b=1.8 Km (verso ovest)
b(x) = 1.8 x cos 180° = -1.8
b(y) = 1.8 x sen 180°= 0

3)vettore c = 0.7km (verso sud - est)
c(x) = 0.7 x cos 315°= 0.49
c(y) = 0.7 x sen 315°= -0.49
Pertanto, le risultanti per le componenti sull'asse x e y saranno:
R(x) = -1.8 + 0.49 = -1.31
R(y) = 1.01
Allora la risultante totale
R= $ sqrt((-1.31)^2 + (1.01)^2 )=sqrt(1.7+1)=sqrt(2.7)=1.64 Km $ <------ Risultante del modulo

Ho fatto bene.. ??

[Tano]

Si, ho notato che l'esercizio da come risultato 1.65 Km ma ho arrotondato..
Per cortesia , per quanto riguarda la direzione come bisogna procedere ?
Grazie mille..

[navigatore]

Ho disegnato gli assi cartesiani..
Quindi , se ho capito bene ricercare il modulo dello spostamento risultante significa che dati i tre vettori , mi calcolo il modulo per ognuno e poi li sommo tutti e tre..(correggimi per favore se dico cavolate xD)
………………..

Guarda, il secondo post con lo svolgimento è corretto, ma quello che hai scritto sopra è una cavolata : non devi "sommare i moduli" , devi sommare le componenti sui due assi, come poi hai fatto!
L'angolo che il risultante forma con l'asse x lo trovi facilmente : il rapporto tra i valori assoluti delle componenti di $\vecR$ rispetto a $y$ e ad $x$ ti dà la tangente trigonometrica dell'angolo che il vettore forma con l'asse $x$ : se guardi il disegno, il vettore $\vecR$ ha origine in $O$. chiama P il secondo estremo, e da P abbassa il segmento PH di perpendicolare sull'asse $x$. Hai un triangolo rettangolo in H, con angolo acuto $\alpha$ in O.
Per cui : $tg\alpha = (PH)/(OH) = 1.01/1.31$

[Tano]

Grazie mille navigatore,
un altro dubbio; se mi fosse stato chiesto calcola il modulo della differenza tra a e b , io calcolo sempre ovviamente le componenti sull'asse x ed y ; poi quando vado a fare la risultante per l'asse delle x ad esempio faccio a(x) - b(x) etc etc...[( e non a(x) + b(x) ]......mentre la formula per il calcolo del modulo ( radice quadrata della somma delle componenti al quadrato) rimane invariata, giusto .. ?

[navigatore]

Si, certo. Ma devi fare sempre molta attenzione ai segni, quando parli di componenti di un vettore si intende un numero reale che può essere positivo o negativo. Perciò quando fai la differenza di due componenti, il segno di differenza, cioè il $"-"$ , non ha niente a che vedere con i segni delle due componenti.
È chiaro? Per esempio, potresti avere : $ 5 - (-7) = + 12$ .
Perciò, occhio Questo faccenda dei segni è quella che più fa confondere gli studenti.

Una volta avute le componenti, il calcolo del modulo è sempre lo stesso : radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti…e qui non ti puoi confondere. Anche se una componente è negativa, l'elevazione al quadrato sotto radice elimina ogni dubbio.

[Tano]

Chiarissimo navigatore;
Ho applicato ciò a questo esercizio , ma poi ottengo che facendo il rapporto tra la componente y e quella x risulta un numero negativo e ovviamente con la calcolatrice facendo la tangente di tale numero mi dice errore..
L'esercizio è il seguente:
a=20 e l'angolo con l'asse delle x è 135°
b=30 e l'angolo con l'asse x è 330°
Calcola modulo e angolo con l'asse delle x della somma e della differenza.
Calcolo le componenti:
a(x)= 20 x cos 135° = -14.1
a(y)= 20 x sen 135° = 14.1

b(x)= 30 x cos 330 = 25.9
b(y)= 30 x sen 330 = -15

Somma
R(x)=-14.1 + 25.9 = 11.8
R(y) = 14.1 - 15 = 0.9
$ R=sqrt(R^2(x) + R^2(y))=sqrt(139.2+0.8)=sqrt(140)=11.83 $

tg $ vartheta $ = $-0.9/11.8 $= error( come ti ho precedentemente accennato)

Differenza
R(x)=-14.1 - 25.9 = -40
R(y) = 14.1 + 15 = 29.1
$ R=sqrt(R^2(x) + R^2(y))=sqrt(1600+846.8)=sqrt(2446.8)=49.4 $
tg $ vartheta $ = $29.1/-40 $ = error( come ti ho precedentemente accenntao)

[navigatore]

Perché non fai un disegno, così capisci come sono messi i vettori e i risultanti, nei due casi ?

In ogni caso, questa è trigonometria da Liceo, e mi dici che hai superato Analisi 1 e Analisi 2…

In ogni caso, il rapporto tra le componenti è già la tangente di un angolo, devi calcolare l'angolo a partire dalla tangente, devi calcolare l'arcotangente!

Chi ti ha detto che la tangente di un angolo non può essere negativa ???? Ti affidi alla macchinetta, e dici che ovviamente ti dà : error ! Ma le macchinette bisogna saperle usare.

Non è ovvio quello che dici; invece penso che tu abbia bisogno di un approfondito ripasso di Trigonometria.