Dimostrazione somma v.a. distribuite secondo poisson

[moari]

Se ho due variabili aleatorie indipendenti distribuite secondo poisson con parametri $ lambda $ e $ mu $ , la distribuzione della somma delle due è ancora secondo poisson di parametro $ lambda+mu $

Non riesco a dimostrare questa preposizione, ho provato con la convoluzione tra due generiche poisson ma non riesco a uscirmene... Qualcuno mi sa fornire una dimostrazione? (Non ho trovato nulla su google)

Grazie Mille

[vict85]

Allora, una variabile aleatoria \(\displaystyle X \) è distribuita secondo Poisson di parametro \(\displaystyle c \) se \(\displaystyle \mathbb{P}(X = n) = e^{-c}\frac{c^n}{n!} \).

Siano \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \) v.a. indipendenti e di poissons con parametri \(\displaystyle c \) e \(\displaystyle d \) rispettivamente allora
\begin{align} \mathbb{P}(X + Y = n) &= \sum_{m = 0}^n \mathbb{P}(Y = n - m | X = m) \\
&= \sum_{m = 0}^n \mathbb{P}(Y = n - m)\mathbb{P}(X = m) \\
&= \sum_{m = 0}^n e^{-d}\frac{d^{n-m}}{n-m!}e^{-c}\frac{c^m}{m!} \\
&= e^{-(c+d)} \frac{1}{n!}\sum_{m = 0}^n \frac{n!}{(n-m)!m!} d^{n-m}c^m \end{align}