Re: topologia: insieme aperto, chiuso, limitato

Messaggioda Stanzi96 » 16/05/2018, 18:21

killing_buddha ha scritto:Mèdita su queste due cose.

1. \(0\in A\);
2. Nessun altro elemento sta in \(A\).

Per dimostrare 1., si fa come ti ho detto: \(\forall n\in\mathbb N : 0\in B_n\) ("per ogni \(n\) in \(\mathbb N\), \(0\) è un elemento di \(B_n\)). Quindi \(0\in\bigcap_n B_n = A\).


Ho capito dove mi blocco, $B_n$ cosa è?? perchè boh l'unica cosa che mi viene in mente è che il limite delle due successioni "associate" è per entrambi 0, quindi l'elemento dell'intersezione è in effetti il solo 0.
il dimostrare l'unicità mi torna, è più intuitivo.
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Re: topologia: insieme aperto, chiuso, limitato

Messaggioda killing_buddha » 16/05/2018, 20:53

\( B_n = ]-\frac{1}{n},\frac{1}{n}[\)
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Re: topologia: insieme aperto, chiuso, limitato

Messaggioda Indrjo Dedej » 16/05/2018, 20:57

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Prendiamo $B_k:=(-frac{1}{k},\frac{1}{k})=\{x \in \mathbb{R} : |x|<\frac{1}{k}\}$.
Chiaramente per ogni $j \in \mathbb{N}$ si ha $0 \in B_j$. Pertanto sicuramente $0 \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}}B_n$.
D'altronde, se $\alpha \ne 0$, allora $|\alpha|>0$. Per l'archimedeità di $\mathbb{R}$, esiste almeno un $h \in \mathbb{N}$ per cui $h|\alpha|>1$, ovvero $|\alpha|>h^{-1}$: riarrangiando in termini insiemistici, esiste almeno un $h \in \mathbb{N}$ per cui $\alpha \notin B_h$.1 A maggior ragione $\alpha \notin \bigcap_{n\in\mathbb{N}}B_n=B_1 \cap B_2 \cap B_3 \cap ... \cap B_h \cap ... $.

Spero di essere stato chiaro. :)

Stanzi96 ha scritto:perchè boh l'unica cosa che mi viene in mente è che il limite delle due successioni "associate" è per entrambi 0, quindi l'elemento dell'intersezione è in effetti il solo 0.

Perché hai pensato ai limiti delle successioni $n \mapsto \frac{1}{n}$ e $n \mapsto -\frac{1}{n}$?

Note

  1. Possiamo esasperare, anche se non serve: se $\alpha \ne 0$, allora $\alpha \notin B_h$ definitivamente.
Euclide! Chi era costui? (adattamento da "I promessi sposi") ~ io :roll:

Usa $\exists$ e $\forall$. Non te lo scordare. ~ ancora io :-D
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Re: topologia: insieme aperto, chiuso, limitato

Messaggioda Stanzi96 » 18/05/2018, 10:24

Indrjo Dedej ha scritto:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Prendiamo $B_k:=(-frac{1}{k},\frac{1}{k})=\{x \in \mathbb{R} : |x|<\frac{1}{k}\}$.
Chiaramente per ogni $j \in \mathbb{N}$ si ha $0 \in B_j$. Pertanto sicuramente $0 \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}}B_n$.
D'altronde, se $\alpha \ne 0$, allora $|\alpha|>0$. Per l'archimedeità di $\mathbb{R}$, esiste almeno un $h \in \mathbb{N}$ per cui $h|\alpha|>1$, ovvero $|\alpha|>h^{-1}$: riarrangiando in termini insiemistici, esiste almeno un $h \in \mathbb{N}$ per cui $\alpha \notin B_h$.1 A maggior ragione $\alpha \notin \bigcap_{n\in\mathbb{N}}B_n=B_1 \cap B_2 \cap B_3 \cap ... \cap B_h \cap ... $.

Spero di essere stato chiaro. :)

Stanzi96 ha scritto:perchè boh l'unica cosa che mi viene in mente è che il limite delle due successioni "associate" è per entrambi 0, quindi l'elemento dell'intersezione è in effetti il solo 0.

Perché hai pensato ai limiti delle successioni $n \mapsto \frac{1}{n}$ e $n \mapsto -\frac{1}{n}$?



perchè non mi capacito come l'intersezione di due insieme a cui non appartiene lo 0 possa dare 0.
comunque con la tua spiegazione credo di aver capito.

Note

  1. Possiamo esasperare, anche se non serve: se $\alpha \ne 0$, allora $\alpha \notin B_h$ definitivamente.
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Re: topologia: insieme aperto, chiuso, limitato

Messaggioda killing_buddha » 18/05/2018, 10:28

Ti abbiamo ripetuto in almeno tre occasioni distinte che lo zero appartiene a tutti gli insiemi che stai intersecando. È evidente che o non leggi le risposte oppure non le capisci. Cosa non va quindi?
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Re: topologia: insieme aperto, chiuso, limitato

Messaggioda Stanzi96 » 18/05/2018, 10:49

killing_buddha ha scritto:Ti abbiamo ripetuto in almeno tre occasioni distinte che lo zero appartiene a tutti gli insiemi che stai intersecando. È evidente che o non leggi le risposte oppure non le capisci. Cosa non va quindi?

Ho letto non sai quante volte, evidentemente non capisco la dimostrazione. tutto qua
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Re: topologia: insieme aperto, chiuso, limitato

Messaggioda killing_buddha » 18/05/2018, 10:59

Evidentemente sei solo convinto, per qualche motivo segreto, che l'intervallo di estremi -1/n e 1/n non contenga lo zero.

Dovresti convincerti del contrario.
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Re: topologia: insieme aperto, chiuso, limitato

Messaggioda axpgn » 18/05/2018, 11:42

@Stanzi96
La scrittura $(-1/n,1/n)$ è un intervallo cioè l'insieme dei numeri reali compresi tra $-1/n$ e $1/n$ ovvero $-1/n<x<1/n$, invece NON è un insieme composto dai soli due punti $-1/n$ e $1/n$.
Ok? :wink:

Cordialmente, Alex
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Re: topologia: insieme aperto, chiuso, limitato

Messaggioda killing_buddha » 18/05/2018, 11:47

Anche perché se lo fosse sarebbe chiuso.
E' una pessima idea studiare la topologia avendo delle lacune sulla notazione insiemistica. E' seconda nella lista, dopo fare bunjee-jumping senza corda.
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Re: topologia: insieme aperto, chiuso, limitato

Messaggioda axpgn » 18/05/2018, 11:54

killing_buddha ha scritto:E' seconda nella lista, dopo fare bunjee-jumping senza corda.

Addirittura? :shock: :-D
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