Esercizio risoluzione sistema lineare con matrici

Messaggioda JacopoFrig » 17/05/2018, 10:24

Buongiorno a tutti, avrei bisogno di un aiuto per risolvere un quesito di algebra lineare riguardo i sistemi lineari e la loro risoluzione con le matrici.

Il testo mi chiede di indicare se queste affermazioni sono vere o false:

1) il sistema lineare:
$\{(x + y + k^2z = 0),((4k + 1)x - y - (8k^2 - 1)z = 1),(x + y + z = 0):}$

c) per k = $-1/2$ il sistema non ammette alcuna soluzione reale.

2) data la matrice:
$((4,0,0),(1,1,0),(2,0,k))$

a) il vettore $((0),(0),(4))$ è soluzione del sistema A$\vec x$ = $\vec 0$

Per il primo quesito sostituisco k e con il metodo dell'eliminazione di Gauss trovo il rango della matrice completa e incompleta trovando che sono uguali e massimi (quindi una sola soluzione per il teorema di Rouché-Capelli), trovando anche il vettore soluzione.
Per il secondo sostituisco ancora k e trovo come soluzione il vettore nullo $((0),(0),(0))$.
Per cui entrambe le soluzioni vengono FALSE ma dalle soluzioni che ci hanno dato sono entrambe VERE.

Se qualcuno è in grado di fornirmi la soluzione ai quesiti mi farebbe un grande favore.

grazie,

Jacopo
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Re: Esercizio risoluzione sistema lineare con matrici

Messaggioda Cantor99 » 18/05/2018, 08:50

Se metti $k=\frac{1}{2}$ si vede subito che il sistema non ha soluzione: infatti si ha sia $x+y+z=0$ che $-x-y-z=1$. Inoltre il rango della matrice incompleta non è massimo (perché ci sono due righe proporzioni) mentre quello della completa lo è.

Per il secondo quesito, il determinante della matrice è $4k$. Dunque se $k!=0$ l'unica soluzione è il vettore nullo. Se $k=0$, invece, la soluzione è data dagli infiniti vettori del tipo $(0,0,h)$, con $h in RR$, e, in particolare, da $h=4$
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Re: Esercizio risoluzione sistema lineare con matrici

Messaggioda JacopoFrig » 19/05/2018, 16:49

ciao Cantor99, grazie per la risposta.

Per il quesito 1 ok, ho capito (il sistema dava una soluzione (x,y,z) ma non verificava nessuna delle equazioni di partenza).

Il secondo invece non capisco come dal determinante trovo il vettore soluzione.

grazie,

Jacopo
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Re: Esercizio risoluzione sistema lineare con matrici

Messaggioda Cantor99 » 20/05/2018, 09:14

Non so se ho male interpretato il punto 2): ho inteso volesse sapere se esiste un $k$ per cui $(0,0,4)$ è soluzione del sistema $Ax=O$

Ora ho usato questo fatto teorico
"Una matrice quadrata $A$ di ordine $n$ ha rango massimo se e solo se è non singolare, cioè $rg(A)=n <=> det(A)!=0$"

Quindi ho semplicemente studiato la compatibilità del sistema.
Se il rango della matrice è massimo esso ammette un'unica soluzione, che è forzatamente il vettore $(0,0,0)$. Quindi se $det(A)=4k!=0 => k!=0$ il sistema ammette un'unica soluzione distinta da $(0,0,4)$.

Per $k=0$, invece, si ha $rg(A)=2$ e il sistema ammette $\infty^1$ soluzioni. Il calcolo diretto ti mostra che per $k=0$ $(0,0,4)$ è soluzione del sistema (in generale sono soluzioni $(0,0,h)$ con $h in RR$)
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Re: Esercizio risoluzione sistema lineare con matrici

Messaggioda JacopoFrig » 20/05/2018, 16:20

Ah forse ho capito, in pratica risolvendo il sistema ottengo solo $x_1$ e $x_2$ per cui $x_3$ è qualsiasi numero, tra cui 4
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Re: Esercizio risoluzione sistema lineare con matrici

Messaggioda Cantor99 » 20/05/2018, 16:46

Sì (se $k=0$)
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Re: Esercizio risoluzione sistema lineare con matrici

Messaggioda JacopoFrig » 20/05/2018, 21:31

Perfetto grazie
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