Endomorfismo associati a matrici simmetriche reali.

Messaggioda galles90 » 18/05/2018, 10:37

Buongiorno,

Sto leggendo il capitolo riguardante la diagonalizzazione ortogonale, mi fa un esempio a riguardo degli Endomorfismi associati a matrici simmetriche reali, dove c'è un passaggio che non mi è chiaro, vi riporto come sta scritto:

Considerata una matrice $A$ quadrata simmetrica reale di ordine $n$, proviamo che $f_A : mathbb{R^n} to mathbb{R^n}$ dello spazio vettoriale euclideo (mathbb{R^n},<,>) definita da $A$ risulti simmetrico.
$**$ Essendo $X_tAY$ una matrice quadrata d'ordine $n$ 1 si ha $X_tAY=(X_tAY)_t$, in base alla simmetria della matrice $A$ si trae che :

$<f_A(x),y>=(AX)_tY=X_tA_tY=X_tAY=(X_tAY)_t=Y_tA_TX=(AY)_tX=<f_A(y),x> = <x,f_A(y)>$

La parte che non mi è tanto chiara è quando dice: Essendo $X_tAY$;io la ragione cosi:

il seguente esempio vuole mostrare che l'endomorfismo $f$ risulta simmetrico , cioè se $<f_A(x),y> = <x,f_A(y)>$
ora dire questo $<f_A(x),y>$ significa dire $X_tAY$, allora io dovrei prendere due matrici $X_t$ e $Y$ rispettivamente di ordine $ (1,n)$ , $(n,1)$ affinché $X_tAY$ risulti di ordine 1.
E' corretto ?

Ciao
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Re: Endomorfismo associati a matrici simmetriche reali.

Messaggioda Magma » 18/05/2018, 13:58

Il prodotto

$(x_1,..., x_n ) ( ( x_(11) , cdots , x_(1n) ),( vdots , ddots , vdots ),( x_(n1) , cdots , x_(n n) ) ) ((y_1),(vdots),(y_n)):=a$

è uno scalare, cioè $(X^TAY) in RR$. Tale numero può essere visto come una matrice $1xx1$ e, banalmente, si ha che

$a^T=a, AA a in RR$
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Re: Endomorfismo associati a matrici simmetriche reali.

Messaggioda galles90 » 18/05/2018, 14:50

Si su questo ci sono, mi sono espresso male io, scusami.

Se ho un endomorfismo $f:V_n to V_n$ per dire che è simmetrico, deve risultare che per ogni coppia di vettori $u,v in V_n$, la seguente relazione
$ \sigma (f(u),v)= \sigma(u,f(v))$


detto in modo brutto :D i vettori sono la matrice righa $X_t$ e la matrice colonna $Y$ ?
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Re: Endomorfismo associati a matrici simmetriche reali.

Messaggioda Magma » 19/05/2018, 09:07

galles90 ha scritto:il seguente esempio vuole mostrare che l'endomorfismo $f$ risulta simmetrico , cioè se $<f_A(x),y> = <x,f_A(y)>$
ora dire questo $<f_A(x),y>$ significa dire $X_tAY$, allora io dovrei prendere due matrici $X_t$ e $Y$ rispettivamente di ordine $ (1,n)$ , $(n,1)$ affinché $X_tAY$ risulti di ordine 1.
È corretto?


Se la domanda è questa, la risposta è no! Il fatto che $X,Y in RR^n$ fa parte delle ipotesi. Prova a fare qualche esercizio pratico e la cosa ti risulterà più semplice di quanto ti sembri ora. :-D

P.S. La simmetria ricade sulla matrice $A$!
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