Funzione

Messaggioda Sasy99 » 12/07/2018, 19:02

Salve qualcuno me la sa spiegare (più elementare possibile) questa funzione ? Grazie

Immagine

e l'esercizio numero 3
Sasy99
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Re: Funzione

Messaggioda pilloeffe » 12/07/2018, 19:26

Ciao Sasy99,

Benvenuto sul forum!

Ti si può perdonare perché è il tuo primo messaggio, ma non è che potresti eliminare l'immagine dal tuo OP e sostituirla con la formula corretta che sto per scriverti?
La funzione proposta è la seguente:

$ f(x) = \sqrt{text{lg}_{0,5}^2 cos x - 1} $
Codice:
$ f(x) = \sqrt{text{lg}_{0,5}^2 cos x - 1} $

Ora, a parte che la notazione del logaritmo mi fa un po' ribrezzo, comincerei col trasformare il tutto nel più maneggevole logaritmo naturale sfruttando ben note proprietà dei logaritmi:

$ f(x) = \sqrt{text{lg}_{0,5}^2 cos x - 1} = \sqrt{(\frac{ln cos x}{ln(1/2)})^2 - 1} = \sqrt{\frac{ln^2 cos x}{ln^2 2} - 1} $
Codice:
$ f(x) = \sqrt{text{lg}_{0,5}^2 cos x - 1} = \sqrt{(\frac{ln cos x}{ln(1/2)})^2 - 1} = \sqrt{\frac{ln^2 cos x}{ln^2 2} - 1} $
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Re: Funzione

Messaggioda Sasy99 » 13/07/2018, 17:24

$ f(x) = \sqrt{\frac{ln^2 cos x}{ln^2 2} - 1} $

Quindi potrei semplificare .... la radice con il quadrato del log.... dopo di che si pone la funzione >= di 1 .. e poi mi sono bloccato..
Sasy99
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Re: Funzione

Messaggioda pilloeffe » 13/07/2018, 23:06

Vediamo se riscritta così ti piace di più:

$ f(x) = \sqrt{\frac{ln^2 cos x}{ln^2 2} - 1} = \sqrt{\frac{ln^2 cos x - ln^2 2}{ln^2 2}} = \sqrt{\frac{(ln cos x - ln 2)(ln cos x + ln 2)}{ln^2 2}} $

Ora siccome naturalmente ciò che compare sotto radice deve essere positivo o al più nullo, necessariamente deve aversi $ (ln cos x - ln 2)(ln cos x + ln 2) \ge 0 $ e dato che $ ln cos x - ln 2 < 0 $ $ \AA x \in \RR $ ne segue che necessariamente deve essere $ ln cos x + ln 2 <= 0 \implies cos x <= 1/2 $
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Re: Funzione

Messaggioda Sasy99 » 13/07/2018, 23:17

Fino a cosx \( \leq \) 1/2 ci sono arrivato con altri passaggi ... ma non capisco ora con questo risultato il domino qual'e ?

Scusami per la mia ignoranza ma in analisi non sono mai stato bravo :( e ci sto provando a impegnarmi ..
Sasy99
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Re: Funzione

Messaggioda pilloeffe » 13/07/2018, 23:58

Sasy99 ha scritto:... ma non capisco ora con questo risultato il dominio qual è ?

Beh, il dominio è dato dai valori di $x \in \RR $ che soddisfano la disequazione $cos x \le 1/2 $, poi naturalmente deve essere anche $cos x > 0 $ affinché siano definiti i logaritmi, quindi se non vado errato
$ D = {x \in \RR : \pi/3 + 2k\pi \le x < \pi/2 + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi < x \le \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, k \in \ZZ} $
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Re: Funzione

Messaggioda Sasy99 » 14/07/2018, 00:07

E qua che non capisco ... dove esce p greco .. se me lo puoi spiegare più semplice è possibile ..

P.s scusami per i miei errori grammaticali .. ma stavo in macchina quindi non ci facevo tanto caso a come scrivevo
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Re: Funzione

Messaggioda pilloeffe » 14/07/2018, 10:05

Sasy99 ha scritto:E qua che non capisco ... dove esce p greco .. se me lo puoi spiegare più semplice è possibile ..

Sasy99, come si dice in questi casi, ti mancano i prerequisiti: non puoi pensare di poter studiare funzioni del genere senza saperne di trigonometria ed in particolare di disequazioni trigonometriche. Dato che non sarebbe molto intelligente né opportuno tenere un corso di trigonometria in un post, ti suggerirei caldamente di studiare per bene l'argomento sul tuo libro di testo e/o su un qualsiasi testo anche a livello di liceo scientifico o istituto tecnico.
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Re: Funzione

Messaggioda Sasy99 » 14/07/2018, 17:04

Un mio amico me l'ha spiegate ... soltaUn mio amico me l'ha spiegate ... soltanto non e stato capace da dovento non e stato capace a spiegarmi da dove usciva \( \pi/2 + \frac{3\pi}{2} \)
Sasy99
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Re: Funzione

Messaggioda pilloeffe » 14/07/2018, 18:10

Sasy99 ha scritto:non e stato capace a spiegarmi da dove usciva $\pi/2+3\pi/2 $

Dalla disequazione $cos x > 0 $... Pensa al cerchio trigonometrico: quand'è che il coseno è positivo?
Quando l'angolo è compreso fra $270°$ e $90°$, cioè in radianti $(3\pi)/2 $ e $\pi/2 $
Poi c'è da risolvere $cos x \le 1/2 $: mettendo insieme il tutto (cioè $0 < cos x \le 1/2 $) si trova proprio il dominio $D $ che ti ho già scritto in un mio post precedente.
Sasy99 ha scritto:Un mio amico me l'ha spiegate ...

All'esame però l'amico non ci sarà, queste cose le devi sapere bene tu se vuoi avere una ragionevole speranza di riuscire a studiare funzioni del genere... :wink:
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