determinare le quadriche contenente una conica e due rette

Messaggioda IviBos25 » 13/07/2018, 11:12

Buongiorno a tutti! Potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio??

Determinare le quadriche contenente la conica:

$ gamma { ( x^2+y^2+xy=0 ),( z=0 ):} $

e le rette:

$ r { ( x=z ),(y=0):} $

$ s { ( x=0 ),(y=z):} $
IviBos25
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Re: determinare le quadriche contenente una conica e due rette

Messaggioda gugo82 » 13/07/2018, 14:07

Tentativi tuoi?

Che conica è $gamma$?
Hai provato a fare un disegno?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: determinare le quadriche contenente una conica e due rette

Messaggioda sandroroma » 13/07/2018, 15:30

L'insieme delle quadriche contenenti $gamma$ si può indicare come segue:
(1) $x^2+xy+y^2+z(ax+by+cz+d)=0$
dove $a,b,c,d$ sono costanti da determinare utilizzando le rimanenti condizioni imposte dal quesito.
Imponendo che la (1) contenga la retta r si ha l'equazione:
$(1+a+c)z^2+dz=0$
Tale equazione deve essere verificata per qualsiasi valore di z e ciò implica che tutti i suoi coefficienti siano nulli:
(A) $ a+c=-1, d=0$
Analogamernte, imponendo che la (1) contenga la retta s, si ha l'equazione:
$(1+b+c)z^2+dz=0$
Tale equazione deve essere verificata per qualsiasi valore di z e ciò implica che tutti i suoi coefficienti siano nulli:
B) $b+c=-1,d=0$
Mettendo insieme (A) e (B) risulta $a=b=-1-c,d=0$ e sostituendo nella (1) si ha l'equazione:
$x^2+y^2+cz^2+xy-(1+c)xz-(1+c)yz=0$
che, al variare di c in R, restituisce le equazioni delle quadriche richieste.
N.B. Verifica i calcoli. Hai visto mai...
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