Intorni sferici in $C[a,b]$

Messaggioda Lèo » 12/08/2018, 20:36

Ciao a tutti, quando si parla di intorni sferici in \(\displaystyle \mathbb{R} \) o in \(\displaystyle \mathbb{C} \) non ci sono grossi problemi. Tuttavia trovo più difficile visualizzare cosa significano in altri spazi metrici. Ad esempio, prendendo lo spazio di funzioni \(\displaystyle C[-1,1] \), \(\displaystyle B(x_0,1) \) è l'intorno sferico di raggio $1$ centrato in una funzione \(\displaystyle x_0(t) \). Quindi se per esempio prendo \(\displaystyle x_0=t^2 \) cosa devo immaginare? Il grafico di una parabola e i punti che distano da esso meno di $1$? Oppure c'è un punto che fa da centro da cui devo calcolare la distanza? Ha senso pensare al grafico della funzione se in realtà i punti da cui devo calcolare la distanza sono a loro volta delle funzioni?

Posto comunque alcuni esercizi sull'argomento:

i) Ogni intorno sferico definito da \(\displaystyle \{x\in X : \mathrm{d}(x,x_0<r\} \) è un insieme aperto. Prendendo un punto \(\displaystyle x_0 \) a metà del raggio iniziale posso trovare ad esempio un suo intorno con \(\displaystyle r_2=r_1/2 \); per induzione, avvicinandomi sempre di più al bordo dimezzando la distanza posso definire la successione \(\displaystyle r_n=r_1/2^n \) e trovare così sempre un intorno aperto per ogni punto dell'insieme.

ii) Determinare in \(\displaystyle C[0,2\pi] \) il più piccolo $r$ tale che \(\displaystyle y\in B(x,r) \), dove \(\displaystyle x=\sin t \), \(\displaystyle y=\cos t \).
Se le cose stanno come lo ho intese io, allora semplicemente si tratta di prendere $r=1$, poiché nell'intervallo \(\displaystyle [0,2\pi] \) le due funzioni \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) distano tra loro al più uno.
Lèo
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 20 di 110
Iscritto il: 24/07/2018, 14:50

Re: Intorni sferici in $C[a,b]$

Messaggioda arnett » 12/08/2018, 21:18

Non sempre gli intorni sferici sono sferici nel senso intuitivo del termine, e questo già in spazi più semplici degli spazi funzionali.
Se consideri per esempio lo spazio metrico $(\mathbb{R}^2, d)$ con la distanza definita da $d(\mathbf{x},\mathbf{y}) =\max(|x_1-y_1|, |x_2-y_2|)$ un intorno sferico di raggio $r$ centrato in un punto $\mathbf{z_0}\in\mathbb{R}^2$ è $B(\mathbf{z_0}, r)={(x, y)\in \mathbb{R}^2:\max(|x-z_1|, |y-z_2|)<r }$, ossia un quadrato di lato $2r$ con centro in $\mathbf{z_0}$. Quindi: la rappresentazione "visiva" degli intorni sferici dipende in maniera cruciale dalla metrica adottata sullo spazio.

Per esempio se consideri $C^0[a,b]$ munito della metrica lagrangiana, definita da \[d(f, g)=\max_{t\in[a, b]} |f(t)-g(t)|\] un intorno sferico di raggio $r$ centrato in $f$ sarà $B(f, r)={g\inC^0[a,b]:\max_{t\in[a, b]} |f(t)-g(t)|<r}$ un insieme costituito da tutte le funzioni $C^0[a,b]$ il cui grafico si si trova, punto per punto, in una striscia di ampiezza $2r$ centrata sul grafico di $f$. Con questa distanza è facile vedere l'intorno sferico (che appunto non sembra sferico), si possono trovare molti altri esempi in cui non è altrettanto facile.
arnett
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 64 di 344
Iscritto il: 18/07/2018, 09:08

Re: Intorni sferici in $C[a,b]$

Messaggioda Bremen000 » 12/08/2018, 21:22

Per il punto (i) (che non ha nulla a che vedere con il fatto che si parli di spazi di funzioni) si può semplicemente dire che preso un punto \( y \in B(x,r) \) è sufficiente considerare la palla \( B(y, d_y/2) \) dove \( d_y= r-d(x,y)>0 \). Infatti se \( z \in B(y, d_y/2) \) allora \( d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z) = d(x,y)+ r/2 - d(x,y)/2 = r/2 + d(x,y)/2 < r/2 + r/2 = r \).

Per il punto (ii) ricontrolla.
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
Bremen000
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 837 di 981
Iscritto il: 08/09/2015, 12:16

Re: Intorni sferici in $C[a,b]$

Messaggioda Lèo » 12/08/2018, 22:50

Grazie per la risposta esauriente. Ma se \(\displaystyle \mathrm{d}(\cos t, \sin t)=\begin{matrix}\max_{t\in[0,2\pi]} |\cos t-\sin t|\end{matrix} \) a \(\displaystyle t=0 \) le due funzioni distano \(\displaystyle r=1 \); perché è sbagliato prendere questo valore? Edit: forse perché essendo l'intorno sferico aperto devo scegliere \(\displaystyle r=1+\epsilon \) per includere entrambi i grafici in ogni punto dell'intervallo?
Lèo
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 24 di 110
Iscritto il: 24/07/2018, 14:50

Re: Intorni sferici in $C[a,b]$

Messaggioda killing_buddha » 12/08/2018, 23:22

Anche se non l'hai detto, deduco che $C(I)$ ha la norma \(d(f,g) = \max_{t\in I} |f(t) - g(t)|\). Se è così, il minimo che cerchi al punto ii non esiste, mi sembra, perché chiaramente \(d(\cos,\sin)=1\), e quindi \(\cos \in B(\sin, 1+\alpha[\) per ogni $\alpha > 0$.
- "Everything in Mathematics that can be categorized, is trivial" (P. J. Freyd), which should be understood as: "category theory is good ideas rather than complicated techniques".
- "I always disliked Analysis" (P. J. Freyd)
Avatar utente
killing_buddha
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 2749 di 2894
Iscritto il: 03/05/2008, 18:33

Re: Intorni sferici in $C[a,b]$

Messaggioda Bremen000 » 13/08/2018, 08:45

Concordo con quanto dite ma non con la distanza, non dovrebbe essere \( d( \cos, \sin) = \sqrt{2} \) ?
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
Bremen000
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 840 di 981
Iscritto il: 08/09/2015, 12:16


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: LucaDeVita e 49 ospiti