Re: Omomorfismo da Q/Z a Q/Z

Messaggioda Reyzet » 15/09/2018, 18:08

Suppongo che n sia fissato quindi non provi l'iniettività usando degli n diversi
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Re: Omomorfismo da Q/Z a Q/Z

Messaggioda apatriarca » 15/09/2018, 18:21

Ogni \(n\) definisce un omomorfismo diverso. \(n\) va considerata una costante o la funzione non è ben definita a meno di considerare \( (\mathbb Q + \mathbb Z) \times \mathbb Z \) come dominio. Perché abbia le proprietà descritte dobbiamo ovviamente considerare \(|n| > 2.\) Se è infatti zero l'immagine è \(0 + \mathbb Z\) e se è \(\pm 1\) l'omomorfismo è un isomorfismo.
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Re: Omomorfismo da Q/Z a Q/Z

Messaggioda milos144 » 15/09/2018, 20:27

Scusate se insisto!
Quindi se io prendo un qualsiasi elemento $q∈Q/Z$ esiste almeno un elemento $p$ per cui $f(p)=q$. Si arriva a mostrare che si tratta di un omomorfismo suriettivo, ma dato un qualsiasi elemento $p in Q/Z$ non si riescono a vedere più di una controimmagine.
Questa cosa non la capisco, ma saró io.
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Re: Omomorfismo da Q/Z a Q/Z

Messaggioda killing_buddha » 15/09/2018, 23:46

milos144 ha scritto:Scusate se insisto!
Quindi se io prendo un qualsiasi elemento $q∈Q/Z$ esiste almeno un elemento $p$ per cui $f(p)=q$. Si arriva a mostrare che si tratta di un omomorfismo suriettivo, ma dato un qualsiasi elemento $p in Q/Z$ non si riescono a vedere più di una controimmagine.
Questa cosa non la capisco, ma saró io.

Gli omomorfismi \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) corrispondono (primo teorema di isomorfismo) agli omomorfismi \(\mathbb Q \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) il cui nucleo contiene \(\mathbb Z\); per trovarne uno di non iniettivo ti basta allora trovarne uno, diciamo $f$, il cui nucleo contiene \(\mathbb{Z}\) propriamente: è uno dei \(\varphi_n\)? E se no, un tale $f$ esiste?

Per chi vuole pensare: a cosa è isomorfo il gruppo \(\hom(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\)? E a cosa corrispondono i $\varphi_n$?
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Re: Omomorfismo da Q/Z a Q/Z

Messaggioda apatriarca » 16/09/2018, 19:08

@killing_buddga credo che @milos144 non abbia ancora compreso veramente cosa sia un quoziente e cosa sia in pratica \(\mathbb Q/\mathbb Z\).

@milos144 Un elemento \(q + \mathbb Z \in \mathbb Q/\mathbb Z\) è un insieme di numeri razionali che differiscono da un numero intero. Quindi ad esempio \( 1/2, 3/2, -5/2, \dotsc \in 1/2 + \mathbb Z\). Quando devi considerare la controimmagine di un elemento devi considerare tutti questi valori e non solo uno di essi. Supponi quindi di avere \(n = 5\). In questo caso hai ad esempio che
\[ \begin{align*}
\varphi\Bigl(\frac{1}{10} + \mathbb Z\Bigr) &= 5\,\frac{1}{10} + \mathbb Z = \frac{1}{2} + \mathbb Z, \\
\varphi\Bigl(\frac{3}{10} + \mathbb Z\Bigr) &= 5\,\frac{3}{10} + \mathbb Z = \frac{3}{2} + \mathbb Z = \frac{1}{2} + \mathbb Z.
\end{align*}
\]
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Re: Omomorfismo da Q/Z a Q/Z

Messaggioda milos144 » 18/09/2018, 10:07

Provo a definire $Q/Z$:
l'insieme dei laterali sinistri rispetto a $Z$ della frazione $m/n$ dove $n $ e $m$ sono interi e $ n != 0$
Gli elementi hanno la forma $m/n + Z$ e i rappresentanti sono razionali nell'intervallo $[0,1)$
Quindi sono $1/n + Z$ e differiscono di un numero intero. Giusto?
L'errore mio penso stava in...differiscono di un intero!!

Esempio:
$φ(7/10+Z)=5*(7/10)+Z=35/10+Z,=7/2+Z=1/2+Z$
Quindi
$φ(7/10+Z)=φ(1/10+Z)=φ(3/10+Z)$ naturalmente per $n=5$
Osservazione:
$7/2=1/2$ perché $(1/2 +Z)$ ha ordine finito uguale a $2$
Grazie
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Re: Omomorfismo da Q/Z a Q/Z

Messaggioda apatriarca » 18/09/2018, 10:24

Non tutti i numeri razionali sono nella forma \( 1/n + k = (1 + k\,n)/n \). Per esempio \( 2/15 \) non è certamente uno di questi numeri. In generale è in relazione biunivoca con tutte le coppie di numeri naturali \( (m, n) \) con \( m < n \) e primi tra di loro (più lo zero \((0, 1)\)). Per il resto direi che è corretto.
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Re: Omomorfismo da Q/Z a Q/Z

Messaggioda milos144 » 18/09/2018, 16:57

Intanto grazie. Mi puoi spiegare meglio a cosa ti riferisci quando dici:
in generale è in relazione biunivoca con tutte le coppie di numeri naturali $ (m,n)$ con $m<n$ e primi tra di loro (più lo zero $(0,1)$)
Grazie
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Re: Omomorfismo da Q/Z a Q/Z

Messaggioda apatriarca » 18/09/2018, 17:31

Il quoziente è formato da tutte le frazioni minori di 1 ridotte ai minimi termini in pratica.
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Re: Omomorfismo da Q/Z a Q/Z

Messaggioda milos144 » 19/09/2018, 11:17

Quindi
$1/3+Z rarr 1/3 $

$3/5+Z rarr 3/5$
e cosí via.... $Q/Z $ con le frazioni ridotte ai minimi termini é in corrispondenza biunivoca. Tutto chiaro!
Mi é sorto un dubbio peró:
Per esempio: $1/3+Z = {...,-8/3,-5/3,-2/3,1/3,4/3,7/3,...}.$ ha infiniti elementi, ma il suo ordine é finito,
cioé ha ordine $3$. Parliamo di due cose diverse o
questo lo devo interpretare cosí perché gli elementi di $Q/Z$ sono finiti é ciclici.
Grazie sempre
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