Esercizio su insieme $ NN $ dotato di topologia discreta

Messaggioda sira » 15/09/2018, 11:33

Buongiorno. Oggi propongo un altro esercizio che più ci penso, più mi fa venire dei dubbi
Si consideri l'insieme $ NN $ dotato della topologia discreta e sia $ X= { x_n, x_2} uu NN $ dove $ x_n, x_2$ sono due punti aggiuntivi. Si dichiari che gli unici aperti che contengono $ x_i $ sono ${x_i} uu NN $ e $ X $ , e si dimostri che in tal modo si ottiene una topologia su $ X $ . Si dimostri infine che i due sottoinsiemi $ Y_i={x_i } uu NN $ sono compatti in $ X $, ma che la loro intersezione non lo è
Io l'ho provato a fare così
Gli unici aperti di $ { x_i } $ sono $ { x_i } uu NN $ perché $ x_i $ è un aperto in quanto intorno di sé stesso ed $ NN $ dotato di topologia discreta è aperto ( quindi abbiamo unione di aperti). $ X $ è aperto perché $ X $ è aperto di sé stesso. (Primo dubbio: ma ogni $ x_i $ non è pure aperto? Quindi ce ne stanno altri aperti contenenti $ x_i $ contrariamente alla traccia? )
Verifico che $ ( X,\tau) $ è una topologia
1) $0\ in \tau $ (ma il vuoto dov' è? ) $ X in \ tau $
2) $ uuu a_i in \tau $ dove con $ a_ i $ indico tutti i sottoinsiemi di $ X $ (quindi ad esempio $ x_1 uu { 1,...n | n in NN }$)
3) $ nnn a_ i in \ tau $.
Quindi $(X, \ tau ) $ è una topologia.
Gli $ Y_ i$ sono compatti in $ X $ perché è una compattificazione di $ NN $
$ Y_1 nn Y_ 2= { { x_1} uu NN} nn { { x_2 } uu NN}= NN $ che non è compatto perché un suo possibile sottoricoprimento è lui stesso e non è finito
sira
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Re: Esercizio su insieme $ NN $ dotato di topologia discreta

Messaggioda Bremen000 » 15/09/2018, 13:00

Se ho ben capito \( \tau = \mathcal{P}(\mathbb{N}) \cup \{ \{x_1\} \cup \mathbb{N} \} \cup \{ \{x_2\} \cup \mathbb{N} \} \cup \{ X \} \). Correggimi se così non fosse.

sira ha scritto:[...] Gli unici aperti di $ { x_i } $ sono $ { x_i } uu NN $[...]

Cosa vuoi dire? Gli unici aperti che contengono \( \{x_i \} \) ? Gli unici aperti in \( \{x_i\} \)?

sira ha scritto: [...] perché $ x_i $ è un aperto in quanto intorno di sé stesso [...]

Vuoi dire \( \{x_i \} \) è aperto? Perché dovrebbe essere un intorno di se stesso? Non contiene alcun aperto.

Forse volevi dire che "gli unici aperti che contengono \( \{x_i \} \) sono \( \{x_i \} \cup \mathbb{N} \) (perché lo dice la traccia) e \( X \) (per definizione di topologia)" ?

sira ha scritto:[...] (Primo dubbio: ma ogni $ x_i $ non è pure aperto? Quindi ce ne stanno altri aperti contenenti $ x_i $ contrariamente alla traccia? ) [...]

Ma perché dovrebbe essere che \( \{x_i \} \) è aperto?


sira ha scritto:[...]
1) $ 0\ in \tau $ (ma il vuoto dov' è? ) $ X in \ tau $
[...]


Lo ottieni con
Codice:
\emptyset

se la domanda è di tipo "grafico". Se è di tipo topologico \( \emptyset \in \mathcal{P}(\mathbb{N}) \subset \tau \).


sira ha scritto:[...]
2) $ uuu a_i in \tau $ dove con $ a_ i $ indico tutti i sottoinsiemi di $ X $ (quindi ad esempio $ x_1 uu { 1,...n | n in NN } $)
3) $ nnn a_ i in \ tau $.
[...]

Perché prendi tutti i possibili sottoinsiemi di $X$? Per esempio \( \{x_i\} \subset X \) non è aperto.

sira ha scritto:[...]
Gli $ Y_ i $ sono compatti in $ X $ perché è una compattificazione di $ NN $
[...]

Ma, semplicemente qualsiasi ricoprimento aperto di \( Y_i \) deve avere come elemento almeno uno fra $X$ e \( \{x_i \} \cup \mathbb{N} \) e dunque puoi estrarre il sottoricomprimento finito fatto dal solo $X$ o dal solo \( \{x_i \} \cup \mathbb{N} \) o da entrambi.

sira ha scritto:$ [...] Y_1 nn Y_ 2= { { x_1} uu NN} nn { { x_2 } uu NN}= NN $ che non è compatto perché un suo possibile sottoricoprimento è lui stesso e non è finito [...]

In realtà il ricoprimento aperto di \( \mathbb{N} \) dato da \( \mathcal{A} = \{ \mathbb{N} \} \) è un ricoprimento finito (e dunque banalmente ammette sottoricoprimenti finiti).
Il ricoprimento aperto di \( \mathbb{N} \) che devi considerare (e che penso intendessi) è \( \mathcal{A} = \{ \{n \} | n \in \mathbb{N} \} \) che non ammette sottoricoprimenti finiti.
Ultima modifica di Bremen000 il 15/09/2018, 14:35, modificato 1 volta in totale.
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Re: Esercizio su insieme $ NN $ dotato di topologia discreta

Messaggioda sira » 15/09/2018, 13:50

Grazie per avermi risposto. Si, $ \ tau $ è definita come hai detto tu.
Per la seconda domanda : si, intendevo gli unici aperti che contengono $ x_i $.
Ora che mi hai risposto ho capito che gli $ x_i $ non sono aperti (io avevo capito che pure gli $ x_i $ erano dotati di topologia discreta :oops: ) quindi di conseguenza ho capito pure perché gli unici aperti sono $ { x_i } uu NN $ e $ X $.
Se per dimostrare che $\ tau $ è una topologia pongo $ uuu a_i$ dove $ a_ i = { x_i } uu {n_i} $ oppure $ a_i = { n_i } $ va bene? (Con $ n_ i $ intendo sottoinsiemi di $ NN $)
Per l'ultima tua correzione: si, intendevo $ uuu { n | n in NN } $
grazie ancora
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Re: Esercizio su insieme $ NN $ dotato di topologia discreta

Messaggioda Bremen000 » 15/09/2018, 14:35

Ciao, attent* alla notazione. Non puoi dire che \( x_i \) è aperto (o meno) perché non è un sottoinsieme di \( X \). Devi dire \( \{x_i \} \) è aperto (o meno). Cioè "l'insieme che contiene solo \( x_i \) è aperto (o meno)".

Detto ciò, per verificare che unione di aperti è ancora un aperto, devi considerare una famiglia qualsiasi \( \mathcal{A} \subset \tau \) e verificare che \( \bigcup \{ A | A \in \mathcal{A} \} \in \tau \).
I casi sono due
1. \( \mathcal{A} \) ha per elementi solo sottoinsiemi di \( \mathbb{N} \) \( \Rightarrow \) la loro unione è un sottoinsieme di \( \mathbb{N} \) e dunque è aperto.
2. \( \mathcal{A} \) ha per elementi almeno uno tra \( Y_1, Y_2 \) e \( X \) \( \Rightarrow \) la loro unione è o $Y_i$ o $X$ che è aperto.

Quello che fai tu non va bene: oltre per come è scritto ( non ha senso scrivere \( \{x_i\} \cup \{ n_i \} \) se \(n_i\) è un insieme: stai unendo un insieme ad una collezione di insiemi ) un insieme del tipo \( \{ x_i \} \cup A \) con \( A \subset \mathbb{N} \) è aperto se e solo se \( A = \mathbb{N} \).

Anche l'ultima cosa che hai scritto:

non è
sira ha scritto:[...]
Per l'ultima tua correzione: si, intendevo $ uuu { n | n in NN } $
[...]


ma \( \{ \{n \} : n \in \mathbb{N} \} \).
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Re: Esercizio su insieme $ NN $ dotato di topologia discreta

Messaggioda sira » 15/09/2018, 14:48

Grazie ancora. Ok, allora cercherò di fare più attenzione con le notazioni e, di ragionarci meglio prima di scriverli.
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Re: Esercizio su insieme $ NN $ dotato di topologia discreta

Messaggioda Bremen000 » 15/09/2018, 15:00

sira ha scritto:Grazie ancora.


Di nulla :D
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Re: Esercizio su insieme $ NN $ dotato di topologia discreta

Messaggioda killing_buddha » 15/09/2018, 16:11

Quale alchimia ha fatto in modo che
sira ha scritto:Si consideri l'insieme $ NN $ dotato della topologia discreta e sia $ X= { x_n, x_2} uu NN $ dove $ x_n, x_2$ sono due punti aggiuntivi.

Diventasse
\( \tau = \mathcal{P}(\mathbb{N}) \cup \{ \{x_1\} \cup \mathbb{N} \} \cup \{ \{x_2\} \cup \mathbb{N} \} \cup \{ X \} \).

??? :shock:
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Re: Esercizio su insieme $ NN $ dotato di topologia discreta

Messaggioda Bremen000 » 15/09/2018, 16:44

Ciao killing,
io (evidentemente novello stregone) ho tramutato questo
sira ha scritto:[...]
Si consideri l'insieme $ NN $ dotato della topologia discreta e sia $ X= { x_n, x_2} uu NN $ dove $ x_n, x_2$ sono due punti aggiuntivi. Si dichiari che gli unici aperti che contengono $ x_i $ sono ${x_i} uu NN $ e $ X $[...]


in questo

\( \tau = \mathcal{P}(\mathbb{N}) \cup \{ \{x_1\} \cup \mathbb{N} \} \cup \{ \{x_2\} \cup \mathbb{N} \} \cup \{ X \} \)

ma potrei non aver capito un'acca.
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Re: Esercizio su insieme $ NN $ dotato di topologia discreta

Messaggioda Bremen000 » 15/09/2018, 20:45

Però non ho capito se vuoi sottolineare un mio errore nel capire la traccia oppure il fatto che abbia capito cosa intendeva l'OP anche se non aveva scritto in maniera chiarissima.
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Re: Esercizio su insieme $ NN $ dotato di topologia discreta

Messaggioda killing_buddha » 15/09/2018, 23:23

Dicevo proprio che non si riusciva a capire chi fossero gli aperti, nel post iniziale.
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