singolarità e punti all'infinito

Messaggioda livrea » 12/02/2019, 15:47

ciao ragazzi, il seguente esercizio richiede di verificare i punti singolari isolati, ed eventualmente il punto all'infinito, calcolandone i residui della seguente funzione
$f(z) = 1/ (1-cos(1/z))$

la mia difficoltà sta nel capire che tipo di singolarità ho. La prima cosa che ho fatto è stata trovare gli zeri di questa funzione
$1-cos(1/z)=0$ e viene $z = 1/(2pi)$ e facendo il limite $lim_(z->1/(2pi)) (1/(1-cos(1/z))) = infty $
quindi $1/(2pi)$ dovrebbe essere un polo (di che ordine??? ) o sbaglio? e i punti all'infinito?
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Re: singolarità e punti all'infinito

Messaggioda gugo82 » 13/02/2019, 00:15

$1/(2pi)$ e basta?
E di $-1/(256pi)$ dove lo metti?

Insomma, la periodicità della funzione coseno si studia alle scuole e non cambia nel passaggio all’università. :wink:

Per quanto riguarda l’ordine dei poli, basta usare la definizione o qualche trucco (approssimazione di Taylor).

Inoltre, “punti” all’infinito?
Perché, ce ne sono più di uno?
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Re: singolarità e punti all'infinito

Messaggioda livrea » 13/02/2019, 19:47

si ok nel trascrivere ho dimenticato la periodicità. Per capire l'ordine dei poli come devo procedere?
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Re: singolarità e punti all'infinito

Messaggioda gugo82 » 13/02/2019, 22:03

gugo82 ha scritto:Per quanto riguarda l’ordine dei poli, basta usare la definizione o qualche trucco (approssimazione di Taylor).

Hai provato?
Il tuo libro che dice in merito?
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Re: singolarità e punti all'infinito

Messaggioda CasellaJr » 14/02/2019, 16:49

Livrea scommetto che sei di Ing. Elettronica a Unict, e hai appena fatto AM3 con Zamboni :D
Comunque gugo82, scusami ma avevo aperto un altro thread, non mi ero accorto dell'esistenza di questo, quindi puoi chiuderlo l'altro.
A questo punto seguo anche io questa discussione visto che avevo lo stesso dubbio
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Re: singolarità e punti all'infinito

Messaggioda gugo82 » 15/02/2019, 14:59

Riprendo l'argomento in mano perché non mi faccio capace (leggi: "non riesco proprio a capire"; scusate il vernacolo!) di come una cosa così semplice come la classificazione delle singolarità isolate possa risultare così ostica... Mentre, il più delle volte, è una cavolata paurosa!

Studiamo la funzione:
\[
f(z) := \frac{1}{1-\cos \frac{1}{z}}\; .
\]
Il dominio si ottiene imponendo le condizioni di esistenza come al solito, cioè risolvendo come d'uso il sistema:
\[
\begin{cases}
z\neq 0\\
1 - \cos \frac{1}{z} \neq 0
\end{cases}
\]
il che implica:
\[
\begin{cases}
z\neq 0\\
z \neq \frac{1}{2k\pi} &\text{, con } k \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0\}
\end{cases}\; ;
\]
dunque $Omega = "Dom" f = CC \setminus ( \{ 0\} uu \{ 1/(2k pi)\}_{k in ZZ, k != 0})$.
La $f$ è olomorfa in $Omega$ poiché composta da funzioni elementari e, perciò, olomorfe; quindi i punti singolari di $f$ cadono sulla frontiera del dominio di definizione, cioè in $partial Omega = \{ 0, oo\} uu \{ 1/(2k pi)\}_{k in ZZ, k != 0}$.1

Dato che $1/(2kpi) -> 0$ per $k-> +- oo$, il punto $z_0 := 0$ non è una singolarità isolata e perciò non è classificabile.2
Poiché $partial Omega$ non ha altri punti di accumulazione a parte $z_0$, tutte le rimanenti singolarità sono classificabili, i.e. o sono poli o sono singolarità essenziali.

Guardiamo cosa accade in $z_k := 1/(2k pi)$ con $k in ZZ setminus \{ 0\}$.
Il semplice calcolo del limite:
\[
\lim_{z\to z_k} f(z) = \lim_{z \to 1/(2k\pi)} \frac{1}{1-\cos \frac{1}{z}} = \infty
\]
mostra che $z_k$ è un polo. Per stabilire l'ordine del polo $z_k$ sfruttiamo un po' di tecniche base per il calcolo dei limiti, cioè cambiamento di variabile, formule di archi associati e formula di Taylor: abbiamo:
\[
\begin{split}
\lim_{z \to z_k} f(z) &\stackrel{w = 1/z}{=} \lim_{w \to 2k\pi} \frac{1}{1 - \cos w}\\
&\stackrel{\zeta = w - 2k\pi}{=} \lim_{\zeta \to 0} \frac{1}{1 - \cos (\zeta + 2k\pi)}\\
&= \lim_{\zeta \to 0} \frac{1}{1 - \cos \zeta}\\
&\stackrel{\text{Taylor}}{=} \lim_{\zeta \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2}\zeta^2}
\end{split}
\]
e ciò mostra che $f$ è un infinito di ordine $2$ per $z -> z_k$.
Pertanto ogni $z_k$ è un polo d'ordine $2$.3

La singolarità all'infinito va studiata con un po' più di attenzione, ma è possibile sfruttare lo stesso metodo.
Ricordo che la singolarità in $z_oo := oo$ di una qualsiasi funzione $f(z)$ va studiata utilizzando la funzione ausiliaria $g(w) = f(1/w)$; in particolare, $f(z)$ ha un polo d'ordine $n$ [risp. una singolarità essenziale] in $z_oo$ se e solo se la funzione $g(w)$ ha un polo d'ordine $n$ [risp. una singolarità essenziale] in $w_0=0$.
La funzione ausiliaria da considerare è:
\[
g(w) = \frac{1}{1-\cos \frac{1}{\frac{1}{w}}} = \frac{1}{1 - \cos w}
\]
e si vede immediatamente che $g(w)$ è un infinito d'ordine $2$ per $w\to 0=w_0$ (basta ragionare come sopra, ma senza tutte le sostituzioni), sicché $g$ ha un polo d'ordine $2$ in $w_0$.
Pertanto $z_oo$ è un polo d'ordine $2$ per $f$.

Vi pare? 8-)

Note

  1. Importante: ogniqualvolta il dominio di una funzione olomorfa non è limitato bisogna ricordarsi di aggiungere tra i punti di frontiera il punto all'infinito $oo$!
  2. Questo vuol dire che non è possibile studiare se $0$ è una singolarità polare od essenziale.
  3. Si legga criticamente la definizione di "ordine di un polo": tale definizione afferma, in soldoni, che $f$ ha un polo d'ordine $n$ in un certo punto se e solo se $f$ è un infinito d'ordine $n$ in tale punto.
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Re: singolarità e punti all'infinito

Messaggioda CasellaJr » 19/02/2019, 17:43

Ciao gugo, per caso mi sai spiegare come calcolare i residui di questa funzione, che ancora non l'ho capito?
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Re: singolarità e punti all'infinito

Messaggioda gugo82 » 19/02/2019, 17:44

In che punti?

Per i punti al finito, ci sono le formule coi limiti.
Per il punto all’infinito, puoi scrivere esplicitamente la seirie di Laurent di una funzione ausiliaria.
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Re: singolarità e punti all'infinito

Messaggioda dissonance » 19/02/2019, 19:50

CasellaJr ha scritto:Ciao gugo, per caso mi sai spiegare come calcolare i residui di questa funzione, che ancora non l'ho capito?
Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Hai dimenticato di scrivere: "grazie per il tuo tempo". Su questo forum c'è gente competente che a volte fa un vero e proprio tutoraggio completamente gratis. Perlomeno un grazie, ogni tanto, fa piacere.
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Re: singolarità e punti all'infinito

Messaggioda anto_zoolander » 20/02/2019, 00:50

CasellaJr ha scritto:per caso mi sai spiegare

Non pensi che, dopo una spiegazione così dettagliata, possa risultare quasi offensivo? È risultato utile anche a me che evito come la peste l’analisi complessa.
Gli indiani già sapevano che lo scalpo fosse una varietà pettinabile :-k
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