Solenoide con altre spire avvolte all'esterno

Messaggioda Nagato » 13/02/2019, 23:45

Un solenoide rettilineo, a sezione circolare, di raggio \(\displaystyle a \), è costituito da un avvolgimento di \(\displaystyle n \) per una lunghezza totale \(\displaystyle h \). L’avvolgimento ha una resistenza complessiva R1 e vi circola una corrente $i(t) = i_0 cos(omegat)$.

1. Calcolare l’autoinduttanza L e il campo di induzione magnetica $B(t)$, indicandone il verso a $t = 0$ e il suo valore massimo $B_0$ nell’approssimazione di campo di un solenoide infinito.


Dall'espressione \(\displaystyle \mu_0ni(t)e_z \) del campo magnetico, ricavo \(\displaystyle \phi=\mu_0a^2\pi n\cos\omega t \) e quindi $L=pi a^2mu_0n$. A $t=0$ il campo va verso l'alto, e il campo massimo possibile è $mu_0ni_0$.

2. Esprimere la forma e il valore massimo della forza elettromotrice erogata dal generatore che alimenta il solenoide per mantenere la corrente data, tenendo conto della resistenza e dell’autoinduttanza del circuito.

Considerando entrambi i contributi, si ha \(\displaystyle V=V_L+V_R=Ri_0\cos\omega t+L\omega i_0\sin\omega t \).

Considerare adesso un secondo avvolgimento dato da $N$ spire circolari avvolte strettamente intorno al solenoide e con una resistenza $R_2$. Calcolare:

3. La mutua induttanza M.

Per calcolare la mutua induttanza posso fare \(\displaystyle \phi_{1,2}=Mi_1=Mi_0\cos\omega t \). Il problema adesso è calcolare il flusso esercitato dalla corrente sull'avvolgimento esterno. Come faccio? Se nell'avvolgimento esterno non scorre una corrente libera allora il campo è lo stesso di prima, no? Ma allora $M$ sarebbe come l'autoinduttanza, non credo proprio di stare azzeccando la situazione qui...

4. La forza elettromotrice indotta nel secondo avvolgimento determinandone il valore massimo.

Idem coma sopra, mi serve il flusso del campo attraverso il solenoide esterno... qualcuno mi può indicare come calcolarlo?
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Re: Solenoide con altre spire avvolte all'esterno

Messaggioda RenzoDF » 13/02/2019, 23:55

Stai dimenticando la differenza fra "flusso" e "flusso concatenato". :wink:

Ti faccio poi notare che:

a) le n spire sono relative ad una lunghezza h,

b) se quello è il testo, l'orientamento del campo è indeterminato,

c) se il secondo avvolgimento è "strettamente avvolto" sul primo, il flusso è lo stesso, ma il flusso concatenato no.

d) occhio ai segni.
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Re: Solenoide con altre spire avvolte all'esterno

Messaggioda Nagato » 14/02/2019, 00:17

a) Ho fatto un errore di battitura. Il testo da $N$ spire in $h$, quindi ho calcolato $n=Nh$ e l'ho usato nel calcolo del campo.

b) questo è il testo!

c) Hai ragione, ho dimenticato la differenza tra flusso e flusso concatenato! :-D come si calcola?

d) dove sta il/i segno/i sbagliato/i ? :-D
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Re: Solenoide con altre spire avvolte all'esterno

Messaggioda RenzoDF » 14/02/2019, 00:21

Nagato ha scritto:... Il testo da $N$ spire in $h$, quindi ho calcolato $n=Nh$ e l'ho usato nel calcolo del campo.

Volevi di certo dire $n=N/h$.

Nagato ha scritto:... b) questo è il testo!

E allora non può chiederti l'orientamento.

Nagato ha scritto:... Hai ragione, ho dimenticato la differenza tra flusso e flusso concatenato! :-D come si calcola?

Normalmente, con

$\Phi_{c}=N\Phi$

Nagato ha scritto:... dove sta il/i segno/i sbagliato/i ?

Nella tensione VL.
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Re: Solenoide con altre spire avvolte all'esterno

Messaggioda Nagato » 14/02/2019, 00:59

Si certo scusami, intendo il rapporto non il prodotto! Invece per la tensione: \(\displaystyle V_L=-\dot\phi=-L\dot i(t)=-L(-i_0\omega\sin\omega t)=Li_0\omega\sin\omega t \)... non è corretto?

Nel calcolo del flusso concatenato si considerano quindi le nuove $N$ spire, giusto? Quindi semplicemente \(\displaystyle \phi_c=N\mu_0a^2\pi ni_0\cos\omega t \), ovvero \(\displaystyle M=N\mu_0a^2\pi n \). E la forza elettromotrice sarebbe \(\displaystyle fem=-\dot\phi_c= N\mu_0a^2\pi ni_0\omega \sin\omega t\).
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Re: Solenoide con altre spire avvolte all'esterno

Messaggioda RenzoDF » 14/02/2019, 11:28

Nagato ha scritto:... Invece per la tensione: \(\displaystyle V_L=-\dot\phi=-L\dot i(t)=-L(-i_0\omega\sin\omega t)=Li_0\omega\sin\omega t \)... non è corretto?

No, la tensione ai morsetti di un induttore, usando la "convenzione degli utilizzatori" (positivo della vL sul morsetto d'entrata per la corrente iL) è l'opposto della fem di autoinduzione, ovvero

$v_L =-\xi=L \frac{\text{d}i_L }{\text{d}t}$

detta, equazione costitutiva dell'induttore.

Nagato ha scritto:... Nel calcolo del flusso concatenato si considerano quindi le nuove $N$ spire, giusto? Quindi semplicemente \(\displaystyle \phi_c=N\mu_0a^2\pi ni_0\cos\omega t \), ovvero \(\displaystyle M=N\mu_0a^2\pi n \). E la forza elettromotrice sarebbe \(\displaystyle fem=-\dot\phi_c= N\mu_0a^2\pi ni_0\omega \sin\omega t\).

Esatto, e di conseguenza, in questo caso particolare, il coefficiente di auto e di mutua induzione sono uguali.
Ti conviene comunque esplicitare $N$ per evidenziare la dipendenza di entrambi i coefficienti dal quadrato del numero di spire.
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Re: Solenoide con altre spire avvolte all'esterno

Messaggioda Nagato » 14/02/2019, 14:32

Ok, grazie mille.
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