Integrale improprio e convergenza

Messaggioda Jaeger90 » 13/02/2019, 22:52

Ciao, ho qualche problema ancora con le risoluzioni degli integrali impropri, soprattutto quando si deve verificare prima la convergenza per poi ovviamente dare il valore a cui esso converge.
Ho l'integrale
$ int_(-1)^(1) 1/(sqrt|x|*(x-4)) dx $
Allora prima di tutto calcolo il dominio della f(x) integranda.
Ho che
$sqrt|x|*(x-4) != 0 rArr { ( x != 0 ),( x !=4 ):} $
Per cui considerando l'insieme chiuso $[-1 ; 1]$ ho una discontinuità in 0 e perciò l'integrale è improprio di 1^ specie.
Calcolo il modulo:
$sqrt|x| = { ( sqrtx rarr x>0 ),( sqrt(-x) rarr x<0 ):} $
Ora essendo l'integrale improprio, non posso studiarlo singolarmente ma devo considerare i due integrali propri

$ int_(-1)^(0) 1/(sqrt(-x)*(x-4)) dx $ = $ lim_(e->0^+) int_(-1)^(0-e) 1/(sqrt(-x)*(x-4)) dx $
ed
$ int_(0)^(1) 1/(sqrt(x)*(x-4)) dx $ = $ lim_(e->0^+) int_(0+e)^(1) 1/(sqrt(x)*(x-4)) dx $
E a questo punto dovrei verificare se i due integrali convergano. Idee? :?
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Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda gugo82 » 13/02/2019, 22:54

Tre parole: ordine di infinito.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda Jaeger90 » 14/02/2019, 17:39

gugo82 ha scritto:Tre parole: ordine di infinito.

Non ho capito. Prima di calcolare gli integrali dovrei utilizzare qualche criterio di convergenza.
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Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda gugo82 » 14/02/2019, 18:10

Direi proprio di sì, anche perché gli integrali impropri che si calcolano “a mano” sono pochini…
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Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda Jaeger90 » 14/02/2019, 19:30

gugo82 ha scritto:Direi proprio di sì, anche perché gli integrali impropri che si calcolano “a mano” sono pochini…

Però non so come procedere. :-D
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Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda Obidream » 14/02/2019, 19:50

Come si comporta la funzione in $0$?
((v & 0xff) && (v & 0xff00) && (v & 0xff0000) && (v & 0xff000000))
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Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda Jaeger90 » 14/02/2019, 21:04

Obidream ha scritto:Come si comporta la funzione in $0$?

Beh ho $n/0$ e quindi la funzione è divergente positivamente in entrambi gli integrali. Ma non credo che studiare la convergenza o divergenza della funzione sia utile in qualche modo, o sbaglio? :?
O forse mi vuoi dire che studiare la convergenza di quegli integrali è come studiare in qualche modo la convergenza degli integrali

$ int_(-1)^(0) +oo dx $ = $ lim_(e->0^+) int_(-1)^(0-e) +oo dx $
ed
$ int_(0)^(1) +oo dx $ = $ lim_(e->0^+) int_(0+e)^(1) +oo dx $
?
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Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda gugo82 » 14/02/2019, 21:52

Hai studiato i criteri di convergenza per gli integrali impropri?
Che ti propone il libro?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda Obidream » 14/02/2019, 21:55

Jaeger90 ha scritto:
Obidream ha scritto:Come si comporta la funzione in $ 0 $?

Beh ho $ n/0 $ e quindi la funzione è divergente positivamente in entrambi gli integrali. Ma non credo che studiare la convergenza o divergenza della funzione sia utile in qualche modo, o sbaglio? :?
O forse mi vuoi dire che studiare la convergenza di quegli integrali è come studiare in qualche modo la convergenza degli integrali

$ int_(-1)^(0) +oo dx $ = $ lim_(e->0^+) int_(-1)^(0-e) +oo dx $
ed
$ int_(0)^(1) +oo dx $ = $ lim_(e->0^+) int_(0+e)^(1) +oo dx $
?


No, allora intendo una cosa del genere: tu dalla teoria sai o comunque puoi facilmente provare questo:


$int_(a)^(b) 1/(b-x)^\alpha dx$

Se $\alpha >= 1$ diverge

Se $\alpha < 1$ converge

L'idea del confronto asintotico è di prendere la parte principale della funzione, in questo caso per $x->0$ e confrontarla coi valori di sopra. Sai trovare la parte principale della tua integranda per $x->0$?
((v & 0xff) && (v & 0xff00) && (v & 0xff0000) && (v & 0xff000000))
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Re: Integrale improprio e convergenza

Messaggioda Jaeger90 » 14/02/2019, 22:15

Obidream ha scritto:$int_(a)^(b) 1/(b-x)^\alpha dx$

Se $\alpha >= 1$ diverge

Se $\alpha < 1$ converge


Non ho mai visto questa cosa. Ma è nel caso in cui sia b o a ad essere escluso?
Cosa intendi con parte principale? Non riesco proprio a seguirti. :(
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