Esercizi serie

Messaggioda TS778LB » 14/02/2019, 10:40

Dire se converge la seguente serie: $ sum[sen(sen(n))]^ n $. Ho difficoltà sia nel verificare la condizione necessaria sia nell'utilizzare il criterio della radice in quanto in entrambi i casi non sono in grado di risolvere il limite per $ n->\infty $. Ho poi un altro dubbio: quando nel termine generale di una serie ho un $ logn $ in forma semplice, solitamente sfrutto la relazione $ logn<\sqrtn $ per poi usare il teorema del confronto. Ad esempio $ \frac{logn}{n^2}<\frac{sqrtn}{n^2}=\frac{1}{n^(3/2} $. Quello che mi chiedo è per quali esponenti $ \alpha $ vale $ logn<n^\alpha $. Se ad esempio ho una serie di termine generale : $ \frac{logn}{(n^5+1)^(1/4) $ ed effettuo le maggiorazioni $ \frac{logn}{(n^5+1)^(1/4)}<\frac{\sqrtn}{n^(5/4}}=\frac{1}{n^(3/4)} $ non otterrei alcun risultato significativo per il criterio del confronto. Se invece maggioro in questo modo: $ \frac{logn}{(n^5+1)^(1/4)}<\frac{n^(1/5)}{n^(5/4}}=\frac{1}{n^(21/20)} $ ottengo la convergenza della serie di partenza. Il risultato del libro riporta che la serie converge per il teorema del confronto. Forse devo applicare quello asintotico?
TS778LB
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Re: Esercizi serie

Messaggioda pilloeffe » 14/02/2019, 11:15

Ciao TS778LB,

La serie proposta iniziale $\sum [sin(sin(n))]^n $ converge assolutamente e quindi anche semplicemente per confronto.
Per quanto riguarda l'altro dubbio, si ha $ log x < x \quad \AA x > 0 $, per cui ponendo $x := n^{\alpha} $ si ha:

$log n^{\alpha} < n^{\alpha} \implies logn < \frac{n^{\alpha}}{\alpha} \qquad \AA \alpha > 0 $
pilloeffe
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Re: Esercizi serie

Messaggioda Bokonon » 14/02/2019, 11:53

Immagino che la serie parta da n=1.
Io ragionerei così...
$-1<sen(n)<1$ e $sen(n)!=0$ per ogni n quindi $0<|sen(n)|<1$.
Quindi valuterei la convergenza assoluta per confronto con $|sen^n(sen(n))|=sen^n(|sen(n)|)<sen^n(1)=a^n$
La serie geometrica converge perchè $|a|<1$ quindi per confronto converge e assolutamente anche la serie in oggetto.
Bokonon
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