Trasformata di Laplace equazione differenziale 3 grado

Messaggioda a.parisi8 » 04/04/2019, 20:30

Buonasera,
stavo risolvendo questa equazione differenziale di 3 grado con la particolare presenza di una funzione a gradino ritardata.

\(\displaystyle 2Y'''(t)-Y''(t)=F(t) \)

F(t) è una funzione gradin ritardata così definita:

\(\displaystyle F(t)=1; t\geq1 \)
\(\displaystyle F(t)=0; t\leq1 \wedge t\geq0\)
E' chiaro che la trasformata della funzione gradino è e^(-s)/s
Il problema è che la funzione risultante \(\displaystyle y(s)=[(2+(1/(s*e^s))/(s^2*(2s-1))] \), scomponendola in fattori parziali, mi da un residuo INFINITO. Qualcuno può gentilmente aiutarmi?
Grazie
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Re: Trasformata di Laplace equazione differenziale 3 grado

Messaggioda gugo82 » 04/04/2019, 23:55

Questo è un modo inutilmente complicato di svolgere un esercizio semplice.

Il cambiamento di variabile $Z = Y^{\prime \prime}$ trasforma la EDO nel sistema differenziale:
\[
\begin{cases}
2Z^\prime (t) - Z(t) = F(t) \\ Y^{\prime \prime} (t) = Z(t)
\end{cases}
\]
che separa le due incognite $Z$ ed $Y$, sicché prima si determina $Z$ dalla prima EDO e poi si determina $Y$ dalla seconda integrando due volte.
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Re: Trasformata di Laplace equazione differenziale 3 grado

Messaggioda a.parisi8 » 06/04/2019, 16:34

sono d'accordo ma l'esercizio richiede specificamente di risolverlo con le trasformate
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Re: Trasformata di Laplace equazione differenziale 3 grado

Messaggioda gugo82 » 06/04/2019, 20:49

Perché, l’equazione del primo ordine in $Z$ non si risolve con la trasformata?

Comunque, fregatene.
Non si fa Matematica con il cervello spento: è come chiedere ad un calciatore di giocare con le scarpe coi tacchi.
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Re: Trasformata di Laplace equazione differenziale 3 grado

Messaggioda Bokonon » 12/04/2019, 21:18

A meno di errori, mi risulta $F(s)=(f(0))/s+(f^'(0))/s^2+(2f^('')(0))/(s^2(2s-1))+e^(-s)/(s^3(2s-1))$

Non credo che il problema siano i primi tre termini a destra. Il terzo si scompone e si possono accorpare due delle frazioni con le precedenti e, alla fine dei conti, invertire tre tipi distinti di funzioni che daranno un risultato del tipo $c_1+c_2t+c_3e^(t/2)$.

Mi pare di capire che sia il quarto termine a crearti problemi è così?
$e^(-s)/(s^3(2s-1))=(4e^(-s))/(s-1/2)-(4e^(-s))/s-(2e^(-s))/s^2-(e^(-s))/s^3$

Chiamando la funzione generica a gradini $G_c(t)=h(t-c)$, l'inversione è del tipo $e^(-cs)*L{f(t+c)} hArr G_c(t)f(t)$
Nel nostro caso $c=1$:

$-4*e^(-s)*1/s=-4G_1(t)$ e questa la sapevi perchè f(t)=1 :D
$4*e^(-s)*1/(s-1/2)=4G_1(t)e^((t-1)/2)$
$-2*e^(-s)*1/s^2=-2G_1(t)*(t-1)$
e infine:
$-(1/2)*e^(-s)*2/s^3=-(1/2)G_1(t)(t-1)^2$

...ovvero dove avresti messo $t$ metti $t-1$
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