Convergenza di una serie di potenze complesse

Messaggioda Flamber » 09/04/2019, 13:36

Ciao a tutti, ho un dubbio teorico sulle serie di potenze nell'ambito dei numeri complessi. Partiamo da quello che penso di sapere:

Sia $S(z)=\sum_{n=0}^(oo) c_n(z-z_0)^n$ una serie di potenze complesse centrata in $z_0$, con i coefficienti $c_n in CC$. L'insieme dei punti $z in CC$ in cui la serie converge è un intorno sferico $B_R(z_0)={zinCC : |z-z_0|<R}$, con $R in [0,+oo)$.
L'insieme di convergenza non è mai vuoto perchè $S(z)$ converge almeno in $z=z_0$.

Ho qualche problema proprio con quest'ultima affermazione, dato che anche testi rigorosi, riportano una dimostrazione di questo tipo, per $z=z_0 $ allora:

$S(z_0)=\sum_{n=0}^(oo) c_n(z_0-z_0)^n=\sum_{n=0}^(oo) c_n * 0^n = c_0*0^0 + c_1*0^1 + ... + c_k*0^k+... =c_0*1 + c_1*0 + ... + c_k*0+... =c_0$

In maniera abbastanza disinvolta, quindi, il testo riporta "Si noti che $0^0:=1$".
Vi sembra formalmente corretto, o è solo un modo per fornire una dimostrazione "veloce"?
Flamber
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Re: Convergenza di una serie di potenze complesse

Messaggioda arnett » 09/04/2019, 15:54

È semplicemente una convenzione che si fa tutte le volte che si ha a che fare con serie di potenze: lo $0^0$ che nasce nel primo termine viene posto uguale a uno.
"ci scruta poi gira se ne va"
arnett
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